Васин. Математические модели рынков и аукционов

повлиять на нее индивидуальными действиями, т.е. каждый агент приспосабливается к рыночной цене p.

Начнем с описания поведения производителей товара. Предполагается, что каждый из них стремится максимизировать прибыль от производства товара. Обозначим через A множество предприятий, поставляющих товар на рынок. В простейшем случае конкретное предприятие a A характеризуется максимальным объемом выпуска, или производственной мощностью, V a и постоянной удельной себестоимостью продукта (в расчете на единицу) ca . При этом стратегией предприятия является объем выпуска V. Формально поведение продавца a характеризуется функцией предложения S a ( p) , которая указывает оптимальный

объем производства в зависимости от цены. Рассмотрим, как определяется S a ( p) в данном случае:

Отметим, что функция предложения является точечномножественным отображением, т.е. одному значению аргумента может соответствовать целое множество значений функции. Общая характеристика рынка со стороны производителей – это

суммарная функция предложения S p S a p . Эта функция

a A

указывает общее количество товара, поставляемое на рынок в зависимости от цены. Упорядочим предприятия по возрастанию удельных себестоимостей, т.е. пусть c1 c2 Тогда график функции предложения для случая трех производителей выглядит следующим образом:

Рисунок 1.1

В качестве примера более общей модели производства рассмотрим предприятие, на котором имеются три вида производственных мощностей (станков) для выпуска товара. Каждый вид характеризуется величинами удельной себестоимости ci и максимального объема выпуска V i , где i 1, 2,3 и c1 c2 c3. При выполнении заказа на выпуск V единиц товара предприятие стремится минимизировать издержки производства. Выясним, как зависит полная себестоимость C V от объема выпуска при

оптимальной загрузке мощностей. Очевидно, что предприятие в первую очередь использует мощности с минимальной удельной себестоимостью выпуска. Если их не хватит, то будут задействованы мощности второго, а затем третьего типа. Таким образом,

график C V имеет следующий вид:

Рисунок 1.2

В общем случае предприятие a характеризуется функцией Ca V себестоимости выпуска в объеме V на данном предпри-

ятии. Далее предполагается, что эта функция задает общие издержки. Прежде, чем сформулировать свойства функции издержек, напомним определение выпуклой (вогнутой) функции.

Определение. Функция C V называется выпуклой (вогну-

той), если для любых двух точек V1 и V2 и любого числа t 0,1 справедливо неравенство

C(tV1 (1 t)V2 )) ( )tC(V1) 1 t C(V2 ).

Отметим некоторые свойства выпуклых функций, извест-

ные из курса математического анализа.

Выпуклая функция C V определенная на полуоси V 0, непрерывна в любой точке V 0. Выпуклая и неубывающая функция C V непрерывна и в точке V 0.

Для выпуклой функции C V в любой точке V существуют левая производная C. V и правая производная C. V C. – V .

Причем, если V V , то C. V C. – V .

Для дифференцируемой функции C V необходимым и дос-

таточным условием выпуклости является неубывание по V производной C. V .

Для дважды дифференцируемой функции аналогичным условием является неотрицательность второй производной C V .

Будем предполагать, что функция издержек C V обладает

следующими свойствами:

C1 монотонно возрастает по V ;

C2C 0 0 ;

C3 .является выпуклой функцией;

C4C V при V .

Обсудим свойства C1 C4 с практической точки зрения. Первое свойство очевидно: чем больше объем выпуска, тем

больше общие издержки.

Второе условие кажется ограничительным, так как у предприятия могут быть постоянные издержки. Однако эти издержки не играют роли при расчете функции предложения (см. ниже), а инвестиционные процессы мы не рассматриваем.

Третье. и четвертое свойства означают, что удельные издерж-

ки C V растут и стремятся к бесконечности с увеличением

объема выпуска. В то же время из производственной практики известно, что при переходе от опытного производства к массовому выпуску возникает эффект масштаба, т.е. удельные издержки убывают с ростом объема выпуска. Однако, данный эффект возникает тогда, когда предприятие меняет структуру основных фондов. Рассматриваемая здесь модель отражает работу предприятия в стационарных условиях.

Дадим формальное обоснование свойства C3. Отметим, что рассматриваемые величины (максимальный объем выпуска, реальный объем, издержки) относятся к некоторому фиксированному периоду времени. Рассмотрим две технологии, характеризующиеся объемами выпуска V1 и V2 . Будем чередовать эти

технологии (пусть долю времени t используется одна техноло-

довательно, C tV1 1 t V2 tC(V1) 1 t C(V2 ).

Упражнение 1.1. Какие реальные факторы не учтены в этом рассуждении?

Для функции себестоимости Ca V , удовлетворяющей усло-

прибыли. Заметим, что здесь нет ограничения сверху на объем V выпускаемого товара.

Требуется построить функцию предложения Sa ( p) . 1) Строим функцию C.a V :

Упражнение 1.2. Найдите функцию предложения Sa ( p) по заданной функции издержек Ca V max V ,V 2 .

Функция спроса

Мы описали поведение производителей. Обратимся теперь к другой стороне рынка и рассмотрим поведение второй группы агентов, действующих на рынке, – потребителей.

Пусть B – множество потребителей товара; b B – конкретный потребитель, который характеризуется функцией спроса