ААВасин Математические_модели_рынков_и_аукционов

необходимой одежды и т.п.) обычно слабо зависит от цены. Например, даже при значительном росте цены на хлеб, люди будут потреблять то же самое количество хлеба. С другой стороны, есть товары типа предметов роскоши (драгоценности, предметы искусства и т.д.), спрос на которые сильно зависит от колебаний цены. Это происходит отчасти потому, что при росте цен на одни предметы роскоши люди, как правило, предпочитают покупать другие предметы, которые подорожали в меньшей степени. Свойство функции спроса изменяться в зависимости от цены называется эластичностью спроса. Формальное определение будет дано позже. С содержательной точки зрения эластичность характеризует степень зависимости объема спроса от цены на товар.

Пример 1.4. Рассмотрим пример неэластичной функции спроса:

Более общая модель, в рамках которой можно отразить указанные особенности поведения потребителей, состоит в следующем. Каждый потребитель b характеризуется денежным капита-

лом Kb и функцией полезности ub v,K , зависящей от объема потребления v и остатка денег K, связанных бюджетным ограни-

Функция спроса определяется из решения задачи оптимизации полезности потребителя:

Db p Arg max ub v,K b pv .

v V p

Обычно полагают, что функция полезности вогнута и монотонно возрастает по каждому аргументу.

Во всех приведенных выше примерах функция спроса Db p – это точечно-множественное отображение, удовлетворяющее следующим свойствам:

пичны, и для большинства товаров свойство монотонного невозрастания функции спроса выполняется.

Принцип конкурентного равновесия

Итак, мы описали поведение двух групп агентов на рынке (производителей товара и потребителей) в зависимости от цены на товар. Для получения замкнутой модели конкурентного рынка одного товара осталось выяснить, как определяется цена p. На конкурентном рынке цена товара определяется из принципа конкурентного равновесия.

Принцип конкурентного равновесия Вальраса. В условиях со-

вершенной конкуренции на рынке устанавливается цена p , кото-

рая балансирует спрос и предложение на товар и называется це-

ной конкурентного равновесия (или вальрасовской ценой).

Формально эта цена определяется из условия D p S p ,

где S(p) – функция суммарного предложения, а D(p) – функция суммарного спроса.

Таким образом, существует объем товара, который может быть предложен по этой цене и может быть потреблен по этой цене. Если функции спроса и предложения однозначные, то принцип конкурентного равновесия можно сформулировать проще: по равновесной цене спрос равен предложению.

Полная формулировка принципа начинается словами: «в условиях совершенной конкуренции...». Что понимается под усло-

виями совершенной конкуренции? Содержательно Вальрас оха-

рактеризовал их как наличие большого числа близких по своим характеристикам производителей и потребителей, каждый из которых не может влиять на рыночную цену (т.е. все они малы по сравнению с общими объемами рынка). Кроме того, все производители и потребители располагают полной информацией о рынке и могут свободно выбирать себе партнеров для заключения сделки. Ясно, что такое описание не является конструктивным. Возьмем конкретный рынок, на котором действуют 20 производителей продукции и 500 потребителей, характеризующихся

этому существует точка p , в которой эта разность принимает нулевое значение, в том смысле, что 0 D p S p . ■

Теорема 1.3. Пусть p1, p2 – две цены конкурентного равно-

ной, т.е. S p D p .

Доказательство. Функция D p S p монотонно не возрастает. Так как эта функция принимает значение 0 в точках p1 и p2 , то и во всех промежуточных точках она принимает то же значение. Следовательно, D p S p для любого p p1, p2 . ■

Покажем, что на самом деле возможны ситуации, когда равновесная цена определяется не единственным образом. В таких случаях из теоремы 1.3 будет следовать, что существует целый отрезок равновесных цен.

Пример 1.7. Пусть на рынке есть всего три потребителя с неэластичными функциями спроса. Резервные цены для этих потребителей равны r1, r2 и r3 соответственно. В этом случае суммарная функция спроса будет иметь ступенчатый вид. Пусть, кроме того, на рынке есть два предприятия-производителя с фиксированными удельными себестоимостями c1, c2 и максимальными объемами производства V1, V2 соответственно. Следовательно, суммарное предложение также является ступенчатой функцией. Тогда возможна следующая ситуация, изображенная на Рисунке 1.3, где получился целый отрезок равновесных цен p .

Заметим, что возможна и другая ситуация, когда равновесная цена p единственна, но не единственным образом определяется

равновесный объем V (см. Рисунок 1.4).

Теорема об оптимальности конкурентного равновесия

Центральная роль понятия конкурентного равновесия в современной экономической теории определяется следующими свойствами. Во-первых, согласно гипотезе Вальраса, экономика в условиях совершенной конкуренции естественным путем приходит в состояние конкурентного равновесия. Во-вторых, это состояние является оптимальным в определенном смысле. В совокупности эти два свойства можно интерпретировать в том смысле, что рынок в условиях совершенной конкуренции является идеальным экономическим механизмом. Отсюда понятно то внимание, которое уделяет этой концепции традиционная экономическая теория.

Однако к такой интерпретации надо относиться с осторожностью. Отметим две важные проблемы. Первая – это отсутствие теоретически обоснованного конструктивного определения условий совершенной конкуренции, о чем уже шла речь выше, вторая – неэффективность рынка при производстве особой группы товаров и услуг, называемых общественными благами. Последней проблемы мы коснемся в подразделе, посвященном налоговому регулированию, где обсуждаются причины существования государственного, или бюджетного, сектора экономики и приводятся модели, обосновывающие целесообразность государственного регулирования.

Несмотря на отмеченные сложности, теоремы об оптимальности конкурентного равновесия имеют большое значение. «Теорема благосостояния» (Welfare theorem, Debreu, 1954) – один из важнейших результатов экономической теории, который показывает, что состояние конкурентного равновесия является оптимальным по Парето, исходя из функций выигрыша всех агентов (производителей и потребителей).

Сформулируем и докажем «теорему благосостояния» для рынка однородного товара. Пусть каждый производитель харак-

теризуется функцией затрат ca ( a ), а потребитель – функцией

Здесь – множитель Лагранжа для ограничения. Выписывая необходимое условие первого порядка, получаем с учетом опре-

суммарного потребления.

Подобный результат справедлив и для функций предложения. Лемма 2. Пусть задан требуемый общий объем генерации VA

вия Sa p VA VA.

a A

Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1. Вернемсяк задачеоптимизацииобщественного благосостояния.

Теорема 1.4. Решение задачи оптимизации общественного благосостояния для рынка однородного товара соответствует конкурентному равновесию этого рынка, то есть

Вальрасу цена, для которой S p D p .

Доказательство. Исходя из лемм 1 и 2, для данного V – общего объема производства и распределения – значение общественного благосостояния при оптимальном распределении этого объема среди производителей и потребителей составит:

Модель двухотраслевой экспортно-ориентированной экономики

В этом подразделе мы докажем «теорему благосостояния» для двухотраслевой экспортно-ориентированной экономики. Рассмотрим экономику, состоящую из двух отраслей. Первая отрасль с множеством предприятий A добывает ресурс (например, нефть). Каждое предприятие характеризуется максимальным объемом выпуска Va и удельной себестоимостью добытого ресурса ca. В этом случае функция предложения имеет вид:

Вторая отрасль занимается переработкой добытого ресурса. Каждое предприятие b второй отрасли характеризуется макси-

мальным объемом переработки W b , удельными затратами сырья на единицу готовой продукции db и прочими издержками на еди-

ницу конечного продукта cb . Предполагается, что конкретный продукт продается на внешнем рынке и его цена q на этом рынке фиксирована.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда обе отрасли являются конкурентными, т.е. там много небольших предприятий, и цена