Добавил:

ILM Студент Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Математическая экономика

Файл:

ААВасин Математические_модели_рынков_и_аукционов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2024

Размер:

3.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

190

Часть IV

же, мощности с минимальными значениями cav должны отбираться внутри каждого типа. Средняя прибыль мощности a на РСВ теперь зависит от cav и распределения других мощностей по

этим издержкам. Если мощность является однозначно эффективной, то она может исходить из завышенной оценки средней прибыли на РСВ при формировании своей заявки на КОМ, не неся при этом потерь. Но для мощностей с издержками, близкими к пороговым, точная оценка прибыли на РСВ является проблемой.

Если рассматривать аукцион с оплатой по заявкам для рынка мощности, то ситуация становится еще хуже. Для того чтобы получить конкурентную равновесную прибыль, каждой фирме необходимо точно угадать свою прибыль на РСВ.

Таким образом, обе рассмотренные конструкции не позволяют эффективно производить отбор генерирующих мощностей даже в условиях совершенной конкуренции. Между тем, правила аукциона, который позволит реализовать такой отбор в условиях совершенной конкуренции, достаточно просты.

Аукцион, обеспечивающий выбор оптимального состава мощностей

Пусть все типы мощностей состоят из стандартных небольших агрегатов, а КПН является кусочно-постоянной функцией со значениями, отвечающими целому числу таких агрегатов. Каждый производитель a может предложить одну единичную мощ-

ность с характеристиками caf ,cav , которые являются его частной информацией. Он подает заявку paf , pav . Аукционер обрабаты-

вает заявки в соответствии с описанным алгоритмом и отбирает M мощностей a1, ,aM . Каждый отобранный производитель

несет

издержки

c f

и получает

прибыль

paf

l pav

max

s pav

paf

s pav

. Это

правило

s 1, ,M

Некоторые другие модели рынков

191

обобщает условия аукциона единой цены однородного товара для рынка мощности.

Теорема 16.3. В общих предположениях о параметрах в условиях совершенной конкуренции стратегия каждого производителя в равновесии Нэша на таком аукционе – подать заявку

caf ,cav . Отобранный набор мощностей a1, ,aM является

решением задачи (16.2).

Доказательство. Поясним идею на следующем примере.

Пусть M M2

для ,

M M1

для < 1. Таким

образом, базовые мощности в объеме M1 должны работать постоянно, а пиковые мощности в объеме M 2 M1 необходимы в

течение времени за период. Сначала рассмотрим случай, когда решение задачи (16.2) включает в себя только мощности, которые оптимальны в полном наборе A для каждой продолжительности

нагрузки (см. Рисунок 16.4.a): типы 1 и 2 дают v min c f cv ,

1 a a a A

а типы 3, 4 дают v min caf cav .

a A

	а)			б)
			Рисунок 16.4
Условия совершенной конкуренции в данном случае означа-

ют, что V1 V2 M1 ;		V3 V4 M2 M1 . Рассмотрим ситуацию

paf , pav caf ,cav ,a A . Покажем, что она является равновеси-

ем Нэша на аукционе. Для каждого a A	c f cv	v	,
	a a	1

192

Часть IV

c f cv v		. Каждая мощность	a A	A , используемая как
a a			1	2

базовая мощность, получает платеж v1 , и a A3 A4 , используемая как пиковая, получает v . Таким образом, все мощности получают нулевую прибыль. Рассмотрим невостребованную мощ-

ность a .	Мощность	будет отобрана, если она подаст заявку
paf , pav	в области S1	или в S2 . В первом случае она заменяет
единицу	типа 1 или	2 и получает платеж v1 , неся издержки

caf cav . В последнем случае она используется как пиковая мощ-

ность и получает v , неся издержки caf cav . В любом случае мощность не сможет получить положительную прибыль. Теперь рассмотрим используемую мощность a A1 A2 . Если она выбе-

рет paf , pav S3 , то	некоторая другая мощность a A1 A2 за-
менит a . Если paf	, pav S1 , то результат не изменится. Если

paf , pav S2		то некоторая a A1 A2 заменит a , в то же время
a	заменит a A3 A4 . Платежи v1 и v		останутся прежними, и
a	получит	отрицательную прибыль,	т.к.	c f cv v	для
				a a

a A1 A2 .

Теперь рассмотрим случай, когда худшие типы мощностей используются как базовые мощности и пиковые мощности (типы 3 и 4 соответственно), не обеспечивая минимальных издержек в наборе A (см. Рисунок 16.4.b). Тогда, поскольку аукцион отбирает оптимальную структуру мощностей при честных заявках, то

каждая мощность, у которой	c f	cv v		c f	cv	и
	a	a	1	3	3

cav c0v v11 v , будет использоваться как базовая и получать

платеж v1 ; обозначим V1 число таких единиц. Каждая мощность,

у которой caf cav v c4f c4v и cav c0v , будет использоваться как пиковая и получать платеж v ; пусть V2 будет числом та-

Некоторые другие модели рынков

193

ких единиц (мы предполагаем, что не существует мощностей с cav c0v ). Условия совершенной конкуренции в данном случае

формально те же, что и в предыдущем. Покажем, что стратегия с честными заявками является равновесием Нэша. Рассмотрим a ,

такую что caf ,cav S1 . Если paf , pav S1 , то результат не изме-

нится: платеж этой мощности – v , а издержки останутся c f						cv .
		1			a	a
Если paf , pav S2 , то некоторые			мощности a A3 заменятся на
a как на базовые мощности, a			заменит некоторую мощность
a A4 , получит	v и понесет		потери	в прибыли,	так	как
v1 caf cav v caf	cav . Итак,	если paf		, pav S3 , то	a не ис-

пользуется и, очевидно, теряет прибыль. Проверка оставшихся вариантов схожа с рассуждениями, приведенными выше. ■

Рассмотрим пример структуры рынка, отвечающей Рисун-

ку 16.5.

1 4

c f

Рисунок 16.5

В данном случае имеется три типа мощности с ограниченными объемами выпуска Vi , i 1,2,3 , и 4-ый тип без ограничения на максимальный объем. Спрос на электроэнергию характеризуется следующей КПН: M1 мощности требуется всегда ( 1 ),

194

Часть IV

M 2 M1 мощности требуется на 1/ 4 периода. Мощности типа 1

являются оптимальными как базовые, типа 2 – как пиковые, типа 3 – вторые по оптимальности для обоих коэффициентов загрузки,

но c4v c3v , c4f c4v c2f c2v . Оптимальная структура мощностей и

равновесие Нэша на аукционе зависят от соотношения между параметрами. Рассмотрим типичные случаи:

1)			M						,	M		M				.	В		этом случае				V * M		,
				1			V				2		1		V									1
						1									2								1
V * M		2	M		1	, в равновесии Нэша все производители получают
2
нулевую прибыль.
2)	M1							, M2		M1				,	M2							. Тогда мощности
					V1								V2					V1		V2	V3

типа 1 полностью загружены как базовые, типа 2 как пиковые,

типа 3 – для обеих целей, V *

. Равновесная прибыль

для каждой единицы мощности типа 1

равна c3f

c1f

c3v

c1v ,

для типа 2 –

c3f c2f

c3v c2v / 4 . Мощности типа 3 получают

нулевую прибыль.

3) M

. Тогда V *

V *

. Равновесные прибыли для единиц мощностей

типов i 2,3

– c1f cif

c1v

civ / 4 . Мощности типа 1 получа-

ют нулевую прибыль.

M2 M1

Тогда

V *

, V *

. Мощности типа 2 и 4 получают

нулевую

прибыль.

Каждая

единица

типа

i 1,3

получает

c4f cif c4v civ .

M2 M1

. В

этом

случае

V *

, тип 4 в первую очередь используется как

базовые мощности. Тип 3 в первую очередь используется как пиковая мощность. Если M2 M1 V2 V3 , то остаток

Некоторые другие модели рынков

195

V2 V3 M2 M1 мощности типа 3 используется как базовая мощность. Равновесные прибыли зависят от соотношений между M 2 M1 и V2 V3 и между M1 и V1 . Если M2 M1 V2 V3 , то каждая единица типа i 1,3 получает прибыль c4f cif c4v civ ,

типа 2 – c3f c2f c3v c2v / 4 . В другом случае, если M1 V1 , то единица типа 1 получает то же значение, единицы типов i 2,3 получают c4f cif c4v civ / 4 . Итак, если M1 V1 , то единицы типов i 1,2,3 получают c4f cif c4v civ / 4 .

Основные выводы

В данной главе исследовалась модель рынка, включающего аукционы мощности и электроэнергии. Получено решение оптимизационной задачи отбора генерирующих мощностей, удовлетворяющих спрос с минимальными общими издержками. Рассмотрены два варианта организации рынка мощности: с проведением аукциона единой цены и с проведением аукциона с оплатой по заявкам. Показано, что оптимальная структура мощностей соответствует равновесию в условиях совершенной конкуренции, полной рациональности поведения и полной информации об агентах на рынке. Однако, при более реалистичных предположениях оптимальная структура мощностей не реализуется в общих предположениях на таких аукционах. Описаны правила аукциона, позволяющего отобрать оптимальную структуру производственных мощностей на основе частной информации, то есть когда каждому участнику известны лишь его собственные технико-экономические характеристики.

196

Часть IV

Вопросы и задачи

1.Задача проектирования механизма для рынка однородного товара. Желательные свойства механизма. Общественное благосостояние.

2.Конкурентный рынок. Понятие конкурентного равновесия. Первая теорема благосостояния. Решения задач об оптимальном распределении объема между производителями и потребителями.

3.Задача об оптимальной стратегии монополии. Эластичность спроса. Оптимальная стратегия при медленном убывании спроса. Связь между эластичностью и медленным убыванием спроса. Дискриминация 1,2,3 рода. Формулировки задач оптимизации.

4.Олигополия Курно как игра в нормальной форме. Условия существования и единственности равновесия Нэша в этой модели. Функции предложения Курно. Индекс Лернера.

5.Aукцион единой цены как игра в нормальной форме. Соотношение между равновесиями Нэша, конкурентным равновесием

иисходом Курно.

6.Аукцион Викри с резервными ценами. Равновесие Нэша в доминирующих стратегиях. Теорема об оптимальности этого аукциона. Расчет прибылей и цены Викри.

7.Олигополия Бертрана-Эджворта. Правила рационирования

ифункция остаточного спроса. Aукцион с оплатой по заявкам как игра в нормальной форме. Условия существования равновесия Нэша. Cоответствие конкурентному равновесию.

8.Как определяется иерархическая игра Г1? Как рассчитываются по Гермейеру и по Штакельбергу максимальные гарантированные результаты лидера в этой игре? Пояснить алгоритмы для биматричной игры.

9.Как определяется иерархическая игра Г2? Как рассчитывается по Штакельбергу максимальный гарантированный результат лидера в этой игре? Пояснить алгоритм для биматричной игры.

Некоторые другие модели рынков

197

Пример. Найти решения по Штакельбергу для игр Г1 и Г2 на основе биматричной игры

1 0 1 2	0 3 2 3
3 1 0 2	0 4 3 2
4 1 4 2	3 0 2 3

10. Фирма-лидер в конкурентном окружении. Как поиск оптимальной стратегии сводится к задаче об оптимальной стратегии монополии?

Пример. На рынке действует фирма-лидер с параметрами с1 = 1, V1 = 4 и конкурентное окружение с параметрами с2 = 3,

V2 = 3. Функция спроса D p max 0,9 p . Найти оптимальную стратегию фирмы-лидера.

11.Рынок с двумя узлами. Оптимальная пропускная способность линии при совершенной конкуренции.

12.Рынок с двумя узлами. Модель конкуренции по Курно. Три типа локальных равновесий Нэша. Необходимые условия и метод расчета локальных равновесий.

Теорема об условиях равновесия Нэша для локального равновесия типа А.

Пример. Первый рынок включает фирму A с мощностью

c1A 1, v1A 4 и фирму B c мощностью c1B 2, v1B 3 . Второй рынок включает фирму C с мощностью c1C 2, v1C 2 и фирму D с мощностью c1D 4, v1D 2 . Функции спроса на 1-ом и 2-ом рынках

– D1 p max 0,5 p

и D2 p max 0,9 p , соответственно.

Коэффициент потерь k = 0. При каких значениях пропускной способности Q существует локальное равновесие типа B? типа С?

13.Аукцион функций предложения со случайным спросом. Расчет РФП. Динамика наилучших ответов.

14.Оптимизация транспортной системы энергетического рынка. Постановка и решение вспомогательной задачи с фиксированным набором расширяемых линий. Отношения дополни-

198

Часть IV

тельности и конкурентности для ребер сети. Как их использовать для вычисления оптимального множества расширяемых линий?

15.Задача оптимизации потребления и управления накопителем электроэнергии. Расчет оптимальной стратегии потребления. Оптимальное управление накопителем при возможности продажи избытка энергии: а) при активном ограничении на скорость зарядки, б) при активном ограничении на объем накопителя. Постановка и решение задачи со случайными факторами.

16.Задача оптимизации параметров накопителя. Условия оптимальности а) при активном ограничении на скорость зарядки, б) при активном ограничении на объем накопителя.

17.Условия равновесия и теорема благосостояния для сетевого рынка с накопителями энергии.

18.Горизонтальная дифференциация продукта. Модель монополистической конкуренции как игра. Расчет равновесия.

19.Равновесия для дуополии на рынке с вертикальной дифференциацией продукта.

20.Влияние налога на прибыль, налога с продаж и акцизного налога на рынок в условиях совершенной конкуренции. Расчет равновесия и общественного благосостояния.

Пример. Отрасль включает 5 типов производственных мощ-

ностей со следующими параметрами: c1 = 1, v1 = 1; c2 = 2, v2 = 2; c3 = 3, v3 = 1; c4 = 4, v4 = 2; c5 = 5, v5 = 2; функция спроса потребителей: D(p) = max(0, 12 – p). Ставка акцизного налога налога te=2. Найти конкурентное равновесие и компоненты общественного благосостояния.

21.Оптимальная стратегия монополии с учетом налога на прибыль, налога с продаж и акцизного налога. Методы ее расчета.

22.Задача формирования оптимальной структуры мощностей для рынка электроэнергии. Расчет оптимальной структуры мощностей а) без активных ограничений на мощности отдельных типов, б) при активных ограничениях на мощности отдельных типов.

23.Недостатки аукциона единой цены и аукциона с оплатой по заявкам для рынка мощностей. Аукцион, обеспечивающий выбор оптимального состава мощностей.

Некоторые другие модели рынков

199

Библиография

Ашманов С.А. Введение в математическую экономику – М.: Наука, 1984.

Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе – М.: Макс Пресс, 2005.

Васин А.А., Дайлова Е.А. (2014): Об оптимальной пропускной способности системы перемещения товара на двухузловом рынке // Вестник Московского университета. Серия 15: Прикладная математика и ки-

бернетика. – No 3. – с. 40–45.

Васин А.А. , Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики: учебное пособие. – Москва : Макс Пресс, 2005.

Гасников А.В. Заметка об эффективной вычислимости конкурентных равновесий в транспортно-экономических моделях // Математиче-

ское моделирование. – 2015. – Т. 27. – № 12. – С. 121–136.

Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами – М.: Нау-

ка, 1976.

Давидсон М.Р., Догадушкина Ю.В., Крейнес Е.М. и др. Математиче-

ская модель конкурентного оптового рынка электроэнергии в России //

Изв. РАН. ТиСУ. 2004. № 3. С. 72–83.

Полтерович В.М. Элементы теории реформ. – М.: Экономика, 2007. Хачатуров В.Р. Математические методы регионального программи-

рования. Наука, Москва, 1989.

Чернавский С.Я. (2013). Реформы регулируемых отраслей российской энергетики. – М., СПб.: Нестор-История.

Arrow, K.J., Debreu, G. (1954) «Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy» // Econometrica, 22, 265–290.

Debreu, G. Valuation Equilibrium and Pareto Optimum // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Vol. 40, No. 7, 1954, pp. 588–592.

Denzau A. Microeconomic Analysis, IRWIN INC, Boston, 1992.

Dolmatova M., Kozlovskiy D., Khrustaleva O., Sultanova T., Vasin A. Market Parameters Dependent Indices for Competition Evaluation in Electricity Market // Electric Power Systems Research. 2021. V.190. P. 1–6.

Guisewite G.M., Pardalos P.M. Minimum concave-cost network flow problems: Applications, complexity, and algorithms. Annals of Operations Research, 25 (1), 1990. p. 75–99.

Hurwicz, Leonid; Reiter, Stanley (2008). Designing economic mechanisms. – New York: Cambridge University Press.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>