ААВасин Математические_модели_рынков_и_аукционов

Рассмотрим алгоритм, который позволяет в среднем эффективно находить оптимальный набор L* для случайно выбранной супермодулярной функции W R . Алгоритм работает с нижней

оценкой Lmin и верхней оценкой Lmax множества L* . На каждом шаге производится попытка либо расширить текущее множество Lmin , добавляя очередное подмножество S Lmax \ Lmin , либо сузить текущее множество Lmax , исключая очередное подмножество S Lmax \ Lmin . Если на текущем шаге количество исключае-

мых элементов k2 больше, чем количество k1 добавляемых, то выполняется операция исключения. В противном случае выпол-

L* Arg max W Lmin ,W Lmax , решение найдено. Алгоритм основан на следующем утверждении.

4)W Lmax \ R W Lmax R S , то Lmax \ S – уточненная верхняя оценка.

Наихудший случай – когда L* L / 2 и R : R L / 2, R L*,

выполнено W R W и W L \ R W L . В этих условиях

алгоритм может осуществить полный перебор всех подмножеств R L. В то же время для широкого круга задач со случайными

параметрами средняя эффективность данного алгоритма оказывается достаточно высокой. Приведем результаты вычислительного эксперимента для рынка типа цепи с m ребрами, функциями

спроса вида Di max 0,dif pci / 2 и предложения

ком диапазоне 10 50 линий средняя сложность хорошо приближается полиномом f3 x 0.014x3 0.16x2 2.75x.

В общем случае, однако, даже рынки типа цепи не обладают ни одним из указанных свойств (см. Vasin A., Dolmatova M., 2016). Тем не менее, в довольно общих условиях существует возможность разработки эффективных алгоритмов, подобных описанному. Рассмотрим соответствующие понятия для рынка с транспортной структурой общего вида.

Определение 11.1. Ребро q называется дополнительным (соответственно конкурентным) к ребру l , если M L \ l, q

выполнено W M q,l W M q W M l W M .

Теорема 11.4. Пусть M1 l и M2 l - множества дополнительных и конкурентных ребер к ребру l. Тогда

W L1 L2 l W L1 L2 L1 M1 l и L2 M2 l .

Алгоритмы, подобные предложенным для суб- и супермодулярных функций, применимы, если для любого l L можно оп-

тановить полные отношения дополнительности и конкурентности тесно связана со следующим условием.

Определение 11.2. Рассматриваемая модель удовлетворяет

условию инвариантности структуры потока (УИСП), если

Q Q0 , i, j L sign pi Q pj Q sign pi Q0 pj Q0 .

Рассмотрим наиболее общий случай, когда удается определить указанные отношения. Пусть паре N, L соответствует граф

типа дерева. Тогда для любых ребер l1,l2 существует единственный путь L l1,l2 без самопересечений, начинающийся c ребра l1 и заканчивающийся ребром l2. Назовем l2 исходно дополнительным (соответственно конкурентным) к l1, если при начальных пропускных способностях Q0 потоки на этих ребрах имеют

k (0, L) коэффициент потерь, который показывает долю утра-

ченного товара (в частности, электроэнергии) при передаче с одного рынка на другой, Q – пропускную способность линии. Рас-

смотрим конкуренцию по Курно в этой модели. Тогда каждый производитель выбирает объем va [0 V a ]

Условия первого порядка равновесия Курно для исхода пер-

в целом аналогичны условиям (3.1), (3.2) для локального рынка: va * ( pi* Ca ' (va *)) | Di '( pi* ) |

где Ca '(v) [Ca '(v),Ca '(v)] в точках скачка функции предельных

затрат.

Кроме того,

a A1

136Рынки с сетевой структурой

va * ( p1* Ca '(va *)) | D1 '( p1*) 2 D2 '( p1*) | ,

Аналогично, для производителей на рынке 2 спрос равен

D2 ( p1) 1 (D1( p1) va ) и

Утверждение 12.1. Каждое равновесие по Нэшу в модели конкуренции Курно для двухузлового рынка принадлежит к одному из описанных трех типов, то есть, либо удовлетворяет условиям (12.1)–(12.4), либо условиям (12.5)–(12.9), либо условиям

(12.10)–(12.11).

Указанные условия являются необходимыми, но не достаточными для того, чтобы набор стратегий был равновесием Нэша. В отличие от случая локального рынка, изученного в главе 3, даже вогнутость функций спроса на обоих рынках вместе с выполнением условий первого порядка не обеспечивает того, что игрок не может выиграть путем большого отклонения от своей стратегии. Выведем необходимые и достаточные условия для того, чтобы каждый тип локального равновесия был истинным равновесием Нэша.

Допустим, что ограничение пропускной способности не является существенным (формально Q ), и рассмотрим локальное

равновесие типа 1 (с нулевым перетоком между рынками). При достаточно большом росте объема производства игрока a цена

на рынке 1 уменьшается до уровня p1 p2* . Дальнейшее увели-

чение объема позволяет игроку продавать продукцию также на рынке 2. Рисунок 12.1 показывает функцию спроса для этого производителя.

D

D1( p1) vb* (D2 ( p1) vb* )

D1( p1) vb*

A1\a

функции спроса D1( p1) vb* . Его оптимальная стратегия при

ние, производитель a A1 может увеличить рыночную цену до p2 / . При дальнейшем уменьшении рынки распадаются. Опти-

D1( p1) vb

A1\a

Утверждение 12.3. Точка локального равновесия типа b) (которая удовлетворяет условиям (12.5)–(12.9)) не является равновесием Нэша тогда и только тогда, когда для некоторого произ-

водителя a A1 выигрыш по оптимальной цене p1 при спросе

D1( p1) vb превышает f a (v) .

A1\a

Отметим, что агенту a A2 невыгодно отклоняться от локального равновесия типа b) с положительным перетоком из рынка 1 на рынок 2. При фиксированных стратегиях других игроков функция спроса выглядит как на Рисунке 12.3.

Путем достаточно большого сокращения объема производства агент a может уменьшить цену и разделить рынки в некоторых случаях. Однако его выигрыш в этом случае понизится, поскольку функция спроса для p p лежит ниже кривой спроса

объединенного рынка.