Добавил:

ILM Студент Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Математическая экономика

Файл:

ААВасин Математические_модели_рынков_и_аукционов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2024

Размер:

3.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

120	Рынки с сетевой структурой

K1 p10 , q

def

D1 p10 q S1W p10 0.

По теореме о неявно задан-

ной функции

K p0 , q

K p0

, q

dp1

0 .

p10

Свойства функции

p20 q

доказываются аналогичным образом, с

учетом того,

что

цена

p20

определяется

из

соотношения

def

p20 1 k q S2W p20 0.

K2 p20 , q D2

Теорема 10.1. Существует значение пропускной способности

Q , определяемое из условия

p1 Q

1 k p2

Q , такое что при

Q Q на рынке будет равновесие, для которого

При Q ≥

q Q,	pi Q pi0 Q ,i 1, 2,		(10.5)
p1 Q 1 k p2 Q .			(10.6)
равновесие отвечает условиям:
	0		(10.7)
q Q Q, pi Q pi		Q ,i 1,2.

Доказательство. Найдем значение пропускной способности

	0		0
Q , при котором	p1	Q 1	k p2	Q . Величина Q определяется

из условий (10.2), (10.3). Умножив уравнение (10.2) на (1 − k) и сложив с (10.3), получим соотношение

1 k D1 1 k p2 D2 p2 (10.8)1 k S1W 1 k p2 S2W p2 .

Правая часть уравнения (10.8) не убывает, при p2 0 обращается в ноль, а при p2 Ca 0 для некоторого a положитель-

на. Левая часть уравнения не возрастает, неотрицательна и стремится к нулю при p2 . Из теоремы о промежуточном

Часть III

121

значении замкнутого отображения следует, что существует ре-

шение	p2	уравнения (10.8). Если решение не единственно, то в
качестве		p2	возьмем минимальное значение, удовлетворяющее
(10.8).	При
			этом Q S1W 1	k p2	D1 1 k p2 . В общих

предположениях относительно структуры рынков это значение


определяется однозначно. По определению Q справедливо
	0
pi Q pi		Q .

Покажем, что при Q Q величина потока q равна пропускной способности Q. От противного, допустим, что q Q. Тогда со-

гласно (10.4) должно выполняться	p10 q 1 k p20 q ,	то есть

q должно совпадать с Q , что противоречит q Q Q. Следова-
тельно, выполнено (10.5). В силу монотонности функций		pi0 q

справедливо (10.6). На рисунке 10.1 графически показано, как определяются цены p1 Q и p2 Q в этом случае.

Рисунок 10.1

Докажем, что при Q Q поток стабилизируется на уровне

и равновесие удовлетворяет условию (10.7). От противно- q Q

го, допустим, что q Q . Тогда согласно (10.4) должно выполняться одно из двух условий: либо p1 Q 1 k p2 Q , но тогда

122	Рынки с сетевой структурой


Q должно совпадать с Q , что противоречит			Q Q ; либо
p1 Q 1 k p
p1 Q 1 k p	2 Q , но так как Q Q ,	p1 Q	1 k p2 Q и
функции pi0 q	монотонны, то это также невозможно. Таким об-

разом q Q , следовательно, p1 Q 1 k p2 Q и величина по-

тока q в этом случае определяется так же, как значение Q .

10.3. Оптимальная пропускная способность линии связи

Укажем метод решения задачи расчета оптимальной пропускной способности линии между двумя рынками с точки зрения общественного благосостояния. При заданном значении Q вы-

ражение для функции F Q общественного благосостояния без

учета затрат, связанных со строительством линии, принимает следующий вид:

F Q Pr1 Q Pr2 Q CS1 Q CS2 Q PrT Q ,

где: Pr1 Q – прибыль производителей на первом рынке, Pr2 Q прибыль производителей на втором рынке, CS1 Q – сюрплас потребителей на первом рынке, CS2 Q – сюрплас потребителей на втором рынке, PrT Q – прибыль транспортной системы. Прибыль производителей на первом рынке составляет

	p1 Q
Pr1 Q p1 Q SWa p1 Q Ca SWa p1 Q S1W p dp.
a A1	0
Этой прибыли соответствует площадь фигуры, ограниченной
равновесной ценой для первого рынка	p p1 Q , осью цен и

функцией предложения (см. рис. 10.1). Функция спроса отражает полезность товара для потребителей. По определению сюрплас потребителей на первом рынке рассчитывается как

Часть III

123

CS1 Q D1 p dp . Ему соответствует площадь фигуры, огра-

ниченной равновесной ценой для первого рынка p p1 Q , осью

цен и функцией спроса. Аналогично определяются прибыль производителей и сюрплас потребителей на втором рынке. Еще одна компонента общего благосостояния – прибыль транспортной сис-

темы			по цене
	PrT Q , которая при Q Q покупает объем Q
p1 Q	и продает объем 1 k Q	по цене	p2 Q :
PrT Q p2 Q 1 k Q p1 Q Q , а при		Q Q прибыль равна

нулю. Таким образом, функция F Q непрерывна.

Затраты, связанные со строительством линии, задаются функцией вида:

0, если Q 0

OC Q cf cv Q , если Q 0,

где cf 0 – фиксированные затраты, не зависящие от пропускной способности; cv Q – переменные затраты, cv 0 0 ; эта функция выпукла и монотонно возрастает по Q . Функция полного общественного благосостояния W Q с учетом затрат имеет вид: W Q F Q OC Q . Для решения задачи об оптимальном значении Q* , максимизирующем общественное благосостояние, необходимо исследовать свойства функции W Q . Осо-

бенность заключается в том, что функция общего благосостояния разрывна в нуле. Поэтому алгоритм решения следующий. Сначала необходимо найти оптимальное значение при положительных значениях Q , потом сравнить этот оптимум со значением общего

благосостояния в ситуации, когда не создается линии, а затем выбрать максимум из этих двух значений.

124	Рынки с сетевой структурой

Теорема 10.2. Для производной функции F Q справедливо представление: F Q 1 k p2 Q p1 Q . Функция F Q во-


гнута и монотонно возрастает при Q Q .
Доказательство. Для производной функции	по теореме
о дифференцировании интеграла с переменным пределом( )		спра-

ведливо соотношение:

F Q S1W p1 Q p1 Q D1 p1 Q p1 Q S2W p2 Q p2 QD2 p2 Q p2 Q 1 k p2 Q p1 Q Q p1 Q

p1 Q S1W p1 Q D1 p1 Q Q

p2 Q S2W p2 Q D2 p2 Q 1 k Q

1 k p2 Q p1 Q .

Так как

D1 p1 Q Q S1W p1 Q

и D2 p2 Q 1 k Q S2W p2 Q ,

то при				Q 0 . Следовательно,
	Q Q F Q 1 k p2 Q p1
F Q	монотонно возрастает. Разность			1 k p2 Q p1 Q не
возрастает, так как p1 Q не убывает,				а p2 Q не возрастает.
Следовательно, F Q – вогнутая функция.
Теорема 10.3. Если 1 k p2 0 p1 0 cv 0 ,					то опти-
мальное значение пропускной способности Q* 0 . В противном
случае локальный максимум достигается при значении Q*L , ко-
торое определяется из условия
	1 k p2 QL p1 QL cv Q*L
и удовлетворяет неравенству Q		*L		*L	W 0 ,
			Q	. Если W Q
то Q* 0 . Если выполнено обратное неравенство, то					Q* Q*L .

Часть III

125

Доказательство. Найдем при		Q 0	максимум	функции
def
W 0 Q F Q cf cv Q ,	которая		является	вогнутой
функцией, совпадающей с функцией общественного				благосос-
					0	Q
тояния при Q 0 . Если F 0		cv 0 , то максимум W
достигается при Q 0 . Тогда и максимум функции обществен-
ного благосостояния W Q будет в точке
Q* 0 :W 0 W 0 0 cf	W 0 0 W 0 Q W Q
при любом Q 0 . В противном		случае,	учитывая	свойства

функции общественного благосостояния, получим, что локаль-


ный			максимум Q*L при	Q 0 определяется			из условия
F Q 1 k p2 Q p1 Q cv Q 0					.	Следовательно,
Q	*			оптимального	значения		пропускной
		Q . Для определения

способности Q* необходимо сравнить значение функции общественного благосостояния W 0 при отсутствии линии со значе-

нием в точке локального максимума W Q*L .

Представляет интерес следующий вопрос: кто должен платить за создание линии связи между рынками? Проанализируем, как меняются выигрыши отдельных агентов, когда происходит переток товара с первого рынка на второй. На первом рынке прибыль производителей увеличивается на величину

	p1 Q*	S1W p dp ,
Pr1		S1W p dp ,	а сюрплас потребителей сокращается на
	p1 0
	p1 Q*
CS1		D1 p dp .	На втором рынке наблюдается обратная

p1 0

картина. На нем потребители выигрывают:

126	Рынки с сетевой структурой

p2 0

CS2 D2 p dp , а прибыль производителей сокращается

p2 Q*

p2 0

на Pr2 S2W p dp . Кроме того, транспортная система по-

p2 Q*

лучает прибыль, равную p2 Q* 1 k Q* p1 Q* Q* , посколь-

ку *L . Очевидно, что оплачивать создание линии должны

Q Q

те, кто от этого выигрывает.

11. Оптимизация транспортной системы энергетического рынка

Рынки природного газа, нефти и электроэнергии играют важную роль в экономике многих стран. Каждый такой рынок включает свою собственную систему передачи. Потребители и производители расположены в различных узлах, соединенных транспортными линиями. Доля затрат на передачу в окончательной стоимости ресурса, как правило, велика, поэтому задача оптимизации транспортной системы представляет большой практический интерес. В разделе 10 указан метод расчета оптимальной пропускной способности для рынка с двумя узлами. В данном разделе мы рассматриваем общую проблему оптимизации транспортной системы с точки зрения общественного благосостояния, с учетом производственных затрат, полезности потребления и затрат на увеличение пропускных способностей. Сложность проблемы определяется наличием существенных фиксированных расходов, связанных с расширением линий передачи. В целом проблема оптимизации транспортной системы – NP-трудная (см. Guisewite G.M., Pardalos P.M., 1990). В работе Vasin A.,

Часть III

127

Dolmatova M.(2016) указаны некоторые случаи, когда функция благосостояния обладает свойствами субмодулярности или супермодулярности на множестве линий. В данном разделе описан новый алгоритм оптимизации транспортной системы в случае супермодулярности. Приводятся результаты вычислительных экспериментов, показывающие его эффективность. Предлагается обобщение указанных свойств в форме понятий дополнительных и конкурентных транспортных линий. Для рынков с древовидной структурой указываются условия, при которых для любой пары линий можно установить, являются ли они конкурентными или дополнительными.

Рассмотрим рынок однородного товара, состоящий из нескольких локальных рынков и сетевой системы передачи. Обозначим через N множество узлов, соответствующих локальным рынкам, и L N N – множество ребер, соответствующих линиям связи. Каждый узел i N соответствует местному совершенно конкурентному рынку, цена на котором определяется из условия баланса спроса, предложения, притока и оттока товара по системе передачи. Функция спроса Di pi , зависящая от цены pi , функ-

ция Ci v себестоимости производства объема v в узле i харак-

теризуют соответственно потребителей и производителей на рынке i . Функция спроса монотонно убывает по цене и связана с

функцией полезности потребления: Ui q Di 1 v dv , где q –

количество потребленного товара. Функция ci v монотонно возрастает и выпукла. Каждая линия передачи i, j L характеризуется начальной пропускной способностью Qij0 , удельными за-

тратами еtij на передачу единицы товара, функцией затрат на увеличение пропускной способности, включающей постоянные затраты еijf и переменные evij Qij ,Qij0 , причем evij – монотонная

128	Рынки с сетевой структурой

выпуклая функция прироста Qij Qij0 , evij 0 0 . Указанная

стоимость расширения линии соответствует ставке погашения единовременной стоимости строительства OCij в течение срока


службы Tij с использованием кредита с процентной ставкой				r :
eij rOCij / 1 erTij (см. Stoft S., 2002). Обозначим через qij				по-
ток от рынка i	к рынку	j , qij q ji , Z i – множество узлов, со-
единенных с	узлом i .	При любых фиксированных	потоках
q qij , i, j L и объемах производства v vi ,i N			общест-

венное благосостояние для данного сетевого рынка составляет:

Eij qij ,

W q,v Ui vi qij

i N

i, j L, i j

qij

Qij et

Qij

где Eij qij

eij

Q0.

То есть, общественное благосостояние включает суммарную полезность потребления за вычетом затрат на производство, расширение линий связи и транспортировку товара.

Цель нашего исследования – разработать эффективные методы решения задачи оптимизации благосостояния:

max	W q,v .	(11.1)
q, v

В качестве вспомогательной рассмотрим задачу с фиксированным набором R L расширяемых линий:

maxW				q,v,R	,	(11.2)
	q, v
где, в отличие от (11.1),		qij	Qij0 для		i, j L \ R	и постоянные

затраты всегда включены в			Eij	для i, j R. Обозначим через

V R значение максимального благосостояния в последней задаче. Тогда задача (11.1) сводится к поиску L* Arg maxR LV R .

Часть III

129

Обсудим сначала решение вспомогательной задачи (11.2) и рассмотрим понятие конкурентного равновесия для рынка с фик-

сированным набором R . Функция предложения Si p определя-

ет	оптимальный	объем		производства	в	узле	i :
Si p Arg maxv pv ci v .				Суммарная прибыль производите-
				p
лей	в узле i с ценой	p	Pri p Si p dp .		Обозначим		через
				0
Si	pi Si pi Di pi разность предложения и спроса в узле i
. Совокупность векторов цен				p pi ,i N , объемов производст-
ва	v vi ,i N и потоков		q qij , i, j L		называется конку-

рентным равновесием данного рынка, если она удовлетворяет следующим условиям: vi Si pi (объем выпуска максимизирует

прибыль при

данной

цене

pi ),i N;

для

любого

i N

pi qij , то есть цена

балансирует спрос и предложе-

i Z i

ние в данном узле с учетом

вектора потоков

q ; i, j R

, если

p p

eij ,

0, если

p p

eij ,

Q0 , если

p p

eij .

(11.3)

То есть, поток между i и j растет до тех пор, пока перевозка товара является прибыльной:

i, j R qij Qij0 pj pi etij evij qij Qij0 ,

также выполняются условия (11.3).

Теорема 11.1. Задача (11.2) с фиксированным множеством R является задачей выпуклого программирования. Ее решение удовлетворяет указанным условиям первого порядка, определяющим конкурентное равновесие соответствующего сетевого рынка.

Данный результат конкретизирует известную теорему благо-

состояния (см. Arrow, K.J., Debreu, G., 1954) для исследуемого

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>