ААВасин Математические_модели_рынков_и_аукционов

Утверждение 9.6. В зависимости от значения D ДНО имеет

РФП, соответствующему равновесию по Курно (которое в данном случае совпадает с равновесием по Вальрасу).

2) Если Q D 3Q , то на шаге 1, ,T наилучший ответ

S p, min Q, d p . При ДНО сходится к РФП, соответствующему равновесию по Вальрасу.

На Рисунке 9.6 показаны интервалы значений D , в которых ДНО имеет одинаковый характер. В области Q,3Q выделены

интервалы с одинаковой длиной цикла. При приближении D к Q длина цикла стремится к бесконечности, а длина соответствующего интервала значений D стремится к 0.

Рисунок 9.6

Доказательство. Если на шаге наилучшим ответом была функция S p, min Q, k p , то остаточный спрос на шаге

1 Dост p max 0, D dp min Q,k p . Вид остаточного спроса зависит от соотношения Q и D . Положим

d d k .

На Рисунке 9.8 показано, как выглядит такая функция спроса.

Рисунок 9.8. Остаточный спрос в случае D 1 1/ Q

Обозначим (a) – остаточный спрос на участке 0 p Q / k ,

(b) – остаточный спрос на участке Q / k p D Q / d . Наи-

k 1 d в зависимости от того, какой из этих ответов дает иг-

року наибольший выигрыш.

(a) В задаче без ограничений на Q для спроса, соответст-

pa ,qa D / 2d 1 , D / 2 .

Взадаче с ограничением на Q выигрыш a достижим, если

(b) В задаче без ограничений на Q для спроса, соответствующего участку (b), максимум выигрыша равен

дает с равновесием по Вальрасу). На следующем рисунке показано, как выглядит ДНО в этом случае.

Рисунок 9.10. ДНО для аукциона с двумя игроками в случае D 3Q

реходит на следующий шаг с k 1 d d 1 . Остаточный спрос для этого случая показан на Рисунке 9.11.

в этом случае.

Рисунок 9.14. ДНО для аукциона с двумя игроками в случае Q D 2Q

Для фиксированных Q , D длина цикла вычисляется по формуле T 4Q / D Q .

Утверждение 9.6 доказано. ■ Из Утверждения 9.6 следует, что в случае, когда ДНО носит

циклический характер, длина цикла тем меньше, чем ближе D к величине 3Q .

9.6. Обобщение на рынок нескольких игроков

Цель данного раздела – обобщить результаты, полученные в предыдущем разделе для дуополии, на аукцион с n игроками.

Утверждение 9.7. При D* n 1 Q на шаге ДНО наилуч-

Dост p,t max 0, D t d n 1 k p . Согласно Лемме 2.1 наилучшим ответом в этом случае будет S p, 1 k 1 p , где k 1 d n 1 k . По индукции получаем

k 1 d n 1 k

1 . ■

d n 1 d n 1 k 1 d n 1 s

s 0

Определим характер ДНО при фиксированных значениях D .

Утверждение 9.8. Для n 2 игроков ДНО в зависимости от

значения D имеет следующий характер:

РФП, соответствующему равновесию по Курно (которое в данном случае совпадает с равновесием по Вальрасу).

2) Если n 1 Q D n 1 Q , то на шаге 1, ,T наилучший ответ S p, min Q,d p , затем функции наилучшего

ответа повторяются. ДНО имеет циклический характер, длина цикла T – минимальное целое число, удовлетворяющее неравен-

S p, min Q,d p . При ДНО сходится к РФП, соот-

ветствующему равновесию по Вальрасу;

Доказательство. Если на шаге наилучшим ответом была функция S p, min Q,k p , то остаточный спрос на шаге

В этом случае Dост p max 0, D d p . Согласно Лемме 2.1 наилучшим ответом (с учетом Замечания 2.2) является

S p, 1 min Q,k 1 p при k 1 d .