Матан (интегрирование)
.docxПервообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
Определение 1: Функция F называется первообразной функции f на интервале (a,b), если функция f непрерывна на интервале (a,b), и для всех x из этого интервала выполняется равенство: F΄(x)=f(x).
Замечание:
Вместо (a,b) можно рассматривать [a,b], (a,b]
и [a,b), но нужно будет говорить про
односторонние производные:
=f(a),
и
=f(b).
Пример
.
на промежутке (-∞,0) и на (0,+∞).
Теорема:(О множестве всех первообразных).
Пусть F(x) является первообразной функции f(x) на на промежутке I, тогда функции вида F(x)+C и только они являются первообразными функции f(x), где C – произвольная константа.
Доказательство:
Пусть функция F(x)
– первообразная функции f(x), тогда
F΄(x)=f(x) и (F(x)+C)΄=f(x). Пусть функции F и G –
первообразные функции f(x) на промежутке
I (нужно доказать, что они отличаются на
константу). Тогда (F-G)΄=0
F-G=C
(по теореме о функции, имеющей нулевую
производную).
Теорема доказана.
Определение
2: Множество
всех первообразных функции f(x) на
промежутке I называется неопределенным
интегралом и обозначается
.
При этом если функция F(x) – первообразная
функции f(x), то
.
Пример:
.
Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
1.
Пусть функция f(x) имеет первообразную
F(x) на промежутке I и функция g(x) имеет
первообразную G(x) на промежутке I, тогда
функция f(x)±g(x) будет иметь первообразную
F(x)±G(x) на промежутке I. Для интегралов:
.
Замечание:
Обратное неверно! Из существования
интеграла
не следует существование интегралов
и
.
Первообразной
функции k·f(x) является функция k·F(x). Для
интегралов:
.
2.
Первообразной производной функции
f΄(x) является сама функция f(x). Для
интегралов:
.
3.
(по
определению).
Билет 28
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Основную
роль в интегральном исчислении играет
формула замены переменных (или подстановки)
(1).
В
этой формуле предполагается, что
есть непрерывно дифференцируемая
функция на некотором интервале изменения
,
а
- непрерывная функция на соответствующем
интервале или отрезке оси
.
Докажем это утверждение. Слева в (1)
стоит функция, которая является
первообразной от
.
Ее производная по
равна:
Следовательно,
если ввести в этой функции подстановку
,
то получится первообразная от функции
.
Интеграл же справа есть, по определению,
некоторая первообразная от
.
Но две первообразные для одной и той же
функции отличаются на некоторую
постоянную
.
Это и записано в виде первого равенства
(1). Что касается второго, то оно носит
формальный характер - мы просто
уславливаемся писать:
Пример:
.
Билет 29
Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
Пусть даны U и V, тогда по правилу интегрирования по частям
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Правило:
При интегрировании
выражений вида
,
где P(x)-многочлен,
Если
за U
принимаем
Если
за U
принимаем
Пример5.
Билет 30
Интегрирование простейших рациональных дробей
1.
2.
4.
5.
рассмотрено в пункте 3
рассмотрено в пункте 4.
6. 
7.
8.
-случай
7
9.
Случай
8.
Билет 31
Интегрирование рациональных дробей.
Пусть
нужно найти неопределенный интеграл
от рациональной действительной дроби.
Если степень многочлена P
k
не меньше степени многочлена Q
n
(
),
то прежде всего разделим P
на Q
:
Многочлен
R
интегрируется без труда, а
– правильная действительная дробь. Все
трудности сводятся к интегрированию
правильной дроби, которую мы снова
обозначим через
и
представим в виде:
Тогда
пусть
,
1 случай.
Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1)
.
Тогда
Приравнивая тождественно равные числители, получим:
Существуют
2 метода нахождения
:
-
сравниваем коэффициенты при x с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий.
-
Т.к. равенства тождественны, можем взять
,
тогда
.
Так, подставляя поочередно
найдем все
Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать.
Пример
2 случай.
Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде:
.
Пусть
существуют n
различных корней с кратностями
,
тогда
- и делаем все
так же, как и в предыдущем примере.
Пример
3 случай.
Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни;
,
где многочлены
,
имеют комплексные корни.
Тогда R(x) представим в виде:
Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
Пример
4 случай
Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни;
Тогда R(x) представим в виде:
А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A, B...
Пример
Теорема 1
Любой многочлен над полем С раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:
Доказательство
Если
,
то все в порядке:
- линейный множитель с вещественными
коэффициентами
Пусть
тогда существует невещественный корень
.
Ему соответствует скобка
.
Тогда
если
– корень, то сопряженный к нему
тоже будет корнем. Тогда наряду с
множителем
будет присутствовать множитель
.
Перемножим эти 2 скобки:
- квадратный трехчлен с вещественными
коэффициентами, что и требовалось
доказать.
Теперь нам нужно доказать, что любые правильные дроби раскладываются на простейшие.
Лемма 1
Пусть
многочлен
представим в виде:
,
где
-
выделили максимальное кол-во скобок
(x-a)
и
- степень числителя меньше степени
знаменателя, тогда
,
причем дробь
-
правильная; если
,
то
;
M(x)
– многочлен с действительными
коэффициентами.
Доказательство
Действуем так же, как в примерах: приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
;
подставим
,
тогда
,
по условию
- нам нужно доказать,
что это – многочлен, а не дробь. Подставим
x=a,
числитель при такой подстановке = 0, а
это значит, что многочлен
делится на
,
т.е. M(x)
– многочлен с действительными
коэффициентами.
Теперь
докажем, что дробь
- правильная, т.е. что
.
Степень
знаменателя дроби = n-1,
для числителя ( M(x)):
по условию
и
,
да еще делим на (x-a)
(
),
значит
- меньше степени знаменателя, что и
требовалось доказать.
Лемма 2
Если
многочлен Q(x)
имеет комплексный корень кратности k,
т е представим в виде
,
при этом многочлен
имеет только комплексные корни, которые
не являются корнями N(x).
,
тогда дробь можно представить в виде:
,
причем вторая дробь будет правильной.
M(x)
– многочлен с действительными
коэффициентами.
Доказательство
Снова
приведем дробь к общему знаменателю и
приравняем числители. Получим
Пусть
,
-
корень многочлена
,
,
значит сопряженное к нему
тоже
корень. Подставим
и
:
; 
Найдем определитель системы, чтобы
выяснить, имеет она решения, или нет:
,
значит, система разрешима и существуют
A
и B
– решения системы, нужно доказать, что
,
заменим A
и B
на
:
,
решим сопряженную систему:
- получили исходную систему;
так
как столбец
-
решение, столбец
является решением. А т.к. решение должно
быть единственным (определитель
),
;
M(x)
находится аналогично Лемме
1 ; теорема
доказана.
Обобщая все вышесказанное, получаем: («Теорему о разложении на простейшие дроби»)
Пусть
многочлен
представим в виде:
и положим
,
тогда
Заметим, что в самой последней дроби степень числителя (первая) меньше степени знаменателя (вторая) , т.е. последняя дробь – правильная. И каждую из дробей-слагаемых мы можем проинтегрировать в элементарных функциях.
Общий вывод: Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
Билет 32
Интегрирование
выражений вида
.
Докажем,
что любой такой интеграл – берущийся
в элементарных функциях. Пусть
,
т.к.
.
Пусть m=НОК
,
.
Сделаем замену:
,
тогда
,
причем последнее выражение - рациональное,
т.к. m делится на любое
.
Тогда
получим, что x=φ(t), dx=φ΄(t)dt, где φ(t) и φ΄(t)dt
– рациональные выражения, поэтому:
- тоже рациональное выражение
Билет 33
Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
Пусть
многочлен
имеет
вещественные корни.
Пусть
- корни, тогда
.
Рассмотрим
подстановку
Билет 34
Вторая подстановка
Эйлера для
интегралов вида
,
где
.
Корни
трехчлена ax2+bx+c комплéксные. Тогда надо
считать, что a>0, иначе трехчлен был бы
отрицателен для всех x. Делаем
подстановку
.Возводя
это равенство в квадрат и заменяя
его выражением, получим:
Где x, y и dx – некоторые рациональные функции от t. В конечном счете получаем:
.
Билет 35
Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть
,
где
и
- многочлены от
и
.
1)
Если один из многочленов
,
четный по
,
а другой – нечетный по
,
то подстановка
рационализирует интеграл.
2)
Если один из многочленов
,
четный по
,
а другой – нечетный по
,
то подстановка
рационализирует интеграл.
3)
Если оба многочлена четные по
и
,
то подстановка
рационализирует интеграл.
3’)
Выражения вида
,
где
и
- четные. Они сходны с 3 случаем, где
4) Универсальная подстановка.
Рационализация
также достигается с помощью подстановки
,
которая называется универсальной.
В самом деле,
;
;
.
5)
Выражения вида
;
;
.
Они рационализируются с помощью перевода
в тригонометрические суммы.
Билет 36
Тригонометрические подстановки.
Следующие интегралы превращаются в тригонометрические выражения при помощи тригонометрических подстановок:
Пример:
