для решения / ТЕМА 4-3

dUdt вm = −αUвm

или после умножения обеих частей на 2Uвm и подведения Uвm под дифференциал получим

В выражении для α от мгновенной крутизны можно перейти к средней крутизне, так как влиянием высших гармоник здесь пренебрегают. Средняя крутизна, а, следовательно, и решение уравнения (14.46) существенно зависят от выбора рабочей точки на вольт-амперной характеристике лампы. В этом случае характеристикуможно аппроксимироватьнеполнымполиномомтретьейстепени, и средняя крутизна выразится уравнением

Scp = S p − 34 a3 Uв2m

Подставим значение Scp вместо мгновенной крутизны в уравнение (14.46)

С учётом введённых обозначений уравнение (14.47) можно переписать

dUdtвь2 = −(2λ0 + γ4 Uв2m )Uвm

Разделяя переменные, получим

Разложим левую часть уравнения на простейшие множители

Следовательно, можно записать

Интегрируя почленно последнее выражение, получаем

lnU вм2 − ln(2λ0 + γ 4 U вм2 ) = −2λ0t + C0

или

ln(γ + 2λ20 ) = 2λ0t − C0 ,

4 Uвм

где A =12λ0e−C0 .

Если λ0 отрицательно (условие самовозбуждения выполняется). То при t → ∞

Это выражение определяет амплитуду напряжения возбуждения в режиме стационарных колебаний. Она не зависит от начальных условий и определяется лишь параметрами автогенератора. Выражение аналогично выражению (14.30), полученному из квазилинейной теории.

Из соотношений (14.49)и(14.48) получаем выражение для Uвм(t)

где B = Sγλ0 A - неизвестная постоянная.

Коэффициент затухания берётся по модулю потому, что в самовозбуждающихся генераторах λ < 0 . Обозначим начальную амплитуду напряжения Uмв T =0 =Uмв(0) .

Тогда, согласно (14.50),

Характер изменения функции Uвм(t) при заданной величине эквивалентного коэффициента затухания λ0 зависит только от соотношения между начальной и стационарной амплитудами колебаний. Если, например, Uмв(0) =Uмв.ст(t), то

Uмв(t) =Uмв.ст . Это значит, что в системе сразу же без всякого переходного

процесса устанавливается стационарное состояние (рис. 14.16,а).

Если же начальная амплитуда напряжения Uмв(0) меньше стационарной амплитуды, то в генераторе наблюдается нарастание колебаний (рис. 14.16,б).

Наконец, при Uмв(0) <Uмв.ст амплитуда колебаний с течением времени уменьшается в пределе к значению Uмв.ст (рис. 14.16,в).

Полученные соотношения характеризуют установление автоколебаний в мягком режиме самовозбуждения. Действительно, в рассмотренной системе процесс развивается при любых начальных условиях, в том числе и при бесконечно малых начальных амплитудах напряжения на сетке лампы.

Аналогичным образом можно было бы исследовать самовозбуждение автогенератора в жёстком режиме. Однако в этом случае вольтамперную характеристику лампы пришлось аппроксимировать полином более высокой степени.