напряжения колебания охватывают участки характеристики с большей крутизной, и средняя крутизна растет. Дальнейший рост амплитуды колебаний приводит к уменьшению средней крутизны. При больших амплитудах такая аппроксимаций дает неудовлетворительные результаты. Действительная характеристика изображается пунктирной линией.

Рис. 14.8

В основу исследования квазилинейных систем вместо характеристики Sср(Umc) можно положить так называемую колебательную характеристику

Iaim=f(Umc) (14.25)

Между функциями Sср(Umc) и Iaim(Umc) имеет место однозначная связь (14.22). Вид колебательной характеристики так же, как и график средней крутизны, зависит от вида характеристики нелинейного элемент и от положения рабочей точки. На рис. 14.9 изображены колебательные характеристики, построенные для двух случаев, когда рабочая точка находится:

а) в области наибольшей крутизны; б) на нижнем изгибе характеристики.

Рис. 14.9

Приусловии,чтосредняякрутизнаестьнекотораяпостояннаявеличинапри даннойамплитудеколебаний,постояннойбудети величинасреднеговнутреннего сопротивлении лампы Riср=i/DSср.

Однако, усредненные параметры представляют собой нелинейные функции амплитуды колебаний (постоянные только при данной амплитуде).

Таким образом, используя квазилинейную теорию, можно нелинейное уравнение автогенератора преобразовать в линейное, если заменить в уравнении крутизнуивнутреннеесопротивлениелампысоответственнонасредниекрутизну и сопротивление. В результате такой замены, справедливой только для установившегося режима, получим линейное уравнение

Колебаниябудутстационарными(незатухающими),если2α=0.Вурааяении

(14.26)

упрощения выкладок вторым слагаемым в уравнении (14.27) пренебрегают, считая Ri большим. Тогда условие баланса амплитуд записывается

Стационарную амплитуду напряжения на сетке можно найти из условия баланса амплитуд (14.28), для чего вместо Scp необходимо подставить (14.24).

В выражении (14.30) учтено, что при выборе рабочей точки в области наибольшей крутизны коэффициент a3 отрицателен. Стационарную амплитуду можно определить графическим методом, для чего находят значение средней крутизны в стационарном режиме

Scp.cT=1/βRкp (14.31)

Найденноезначениесреднейкрутизнынаносятнаграфиксреднейкрутизны (рbс.14.10,а). Scp.cT - постоянное число, соответствующее прямой линии (см.рис.14.10,а)параллельнойосиабсцисс,такназываемойлинииобратнойсвязи. Точка пересечения кривой Scp(Umc) с линией обратной связи дает значение стационарной амплитуды Ucp.cT напряжения на сетке лампы.

Значение стационарной амплитуды можно получить также, располагая колебательной характеристикой. Из (14.22), учитывая (14,31), найдем

Iaim=ScpUmc=(1/βRкp)Umc=Scp.cTUmc. Линия обратной связи на графике колебательной характеристики пройдет под углом α к оси абсцисс. Тангенс угла наклона линии обратной связи равен средней крутизне, соответствующей данному стационарному режиму. Точка пересечения кривой Iaim(Umc) с линией обратной связи Iaim = Scp.cTUmc соответствует стационарной амплитуде Ucp.cT (рис.14.10,6).

Квазилинейный метод можно применить для определения частоты стационарных колебаний. Для определенности рассмотрим схему автогенератора с колебательным контуром в анодной цепи (см.рис.14.5) В соответствии с основной идеей квазилинейного метода автогенератор, находящийся в стационарном режиме, можно представить в виде линейного усилителя, на вход которого подается напряжение из цепи обратной связи (рис.14.11). В качестве цепи обратной связи в схеме используется LC – контур (в низкочастотных генераторах может использоваться RC -четырехполюсник). Входным напряжениемлинейного усилителя будем считать напряжение возбуждения Uвm, выходным будет являться напряжение на нагрузке, т.е. напряжение на контуре

Uкm.

Рис. 14.11 .

Комплексные входное и выходное напряжения связаны между собой соотношением

Комплексная амплитуда напряжения на контуре

Uкm = Zk Iaim (14.33)

Комплексная амплитуда первой гармоники анодного тока в режиме стационарных колебаний определяется соотношением (14.22)

Iaim = Scp Uвm (14.34)

Подставляя (14.34) и (14.33) в (14.32),.получим Uвm= β Zk Scp Uвm

или

β Zk Scp=1 (14.35)

Уравнение (14.35), справедливое для режима стационарных колебаний, называется комплексным уравнением автогенератора. Сомножители, входящие в

это уравнение, являются комплексными величинами и могут быть представлены в показательной форме

βejφβ . Zkejφz. Scpejφs=1

Из полученного соотношения можно получить уравнения для модулей и аргументов

β Zk Scp=1 (14.36) φβ+φz+φS=2πn (14.37)

равнения (14.36) и (14.37) являются условиями стационарности. Уравнение (14.36) называют уравнением баланса амплитуд. 0но совпадает с выражением (14.21), полученным ранее другим путем.

Уравнение(14.37)называетсяуравнениембалансафаз.Оноутверждает,что в установившемся режиме сумма всех фазовых сдвигов при обходе системы по замкнутому пути должна быть равна целому числу 2π. Частота, при которой это условие выполняется, и является частотой установившихся колебаний.

Можно наметить порядок нахождения частоты установившихся колебаний: представить левую часть выражения (14.35), которая, по существу есть комплексный коэффициент передачи системы при разомкнутой цепи обратной связи, в виде вещественной и мнимой частей, приравнять нулю мнимую часть комплексного коэффициента передачи и из этого уравнения определить частоту колебаний ωr.

Если полученное значение частоты ωr подставить в выражение вещественной части и приравнять ее единице, то можно определить амплитуду стационарных колебаний.

Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения

Для определения амплитуды стационарных колебаний автогенератора необходимо иметь зависимость Scp=f(Umc). Так как средняя крутизна является отношением амплитуды первой гармоники анодного тока к амплитуде напряжения на сетке, эта зависимость может быть найдена при разомкнутой цепи обратной связи. Для этого сначала снимают колебательную характеристику автогенератора, а из нее находят зависимость Scp=f(׀Umc׀). Колебательная характеристика можетбытьполучена как экспериментальным,так и графическим путем, из динамической характеристики.

Для определения амплитуды стационарных колебаний автогенератора, необходимо на графике Scp=f(Umc) построить зависимость, характеризующую цепь обратной связи (прямую обратной связи). Точка пересечения прямой обратной связи с характеристикой средней крутизны определяет амплитуду стационарных колебаний автогенератора.

Рассмотрим,какизменяетсяUmc.стприизменениикоэффициентаобратной связи.

Если рабочая точка находится в области наибольшей крутизны динамической характеристики, то по мере увеличения коэффициента обратной связи β прямая обратной связи 1/β Rкр опускается, а амплитуда стационарных колебаний увеличивается (рис. 14.12,а).

При уменьшении коэффициента обратной связи амплитуда стационарных колебаний будет плавно уменьшаться, пока β не достигнет значения β=βхр при котором кривая Scp=f(Umc) и прямая обратной связи не будет иметь точек

пересечения. Это значит, что при β ≤ βхр коэффициент обратной связи недостаточен для возбуждения автогенератора (рис.14.12,б).

Рис. 1.4.12

Покажем, что для монотонно увеличивающейся характеристики средней крутизны, состояние равновесия системы, соответствующее точке N , является динамически устойчивым. Пусть под влиянием каких-то случайных факторов амплитуда напряжения увеличилась на некоторую величину ΔUmc>0 . Тогда в следующем периоде колебаний средняя крутизна окажется меньше, а это значит, что в колебательный контур поступит меньше энергии и, следовательно, амплитуда колебаний уменьшится. Наоборот, при случайном уменьшение амплитуды стационарных колебаний ΔUmc<0 средняя крутизна увеличится, что приведет к увеличению количества энергии, поступающей в колебательный контур,азначит,кувеличениюамплитудыколебаний автогенератора. Таким образом, если вывести генератор из состояния равновесия, он сам за счет внутренних процессов вернется в первоначальное положение.

Такой режим называется мягким режимом самовозбуждения автогенератора. он характеризуется особенностями:

I.Кривая Scp=f(Umc) и прямаяобратнойсвязипересекаютсятолько водной точке, являющейся точкой динамического равновесия.

2.С увеличением или уменьшением коэффициента обратной связи колебания возникают и прекращаются при одном и том же значении коэффициента обратной связи, называющимся критическим.

3.Если β стремится к βхр , то амплитуда стационарных колебаний стремится к нулю

4.При β>βхр для возбуждения автогенератора не требуется никакого внешнего воздействия.

Если рабочая точка находится на нижнем изгибе характеристики, то возможны три режима работы автогенератора с соответствующими разными значениями коэффициента обратной связи. При β<βхр автогенератор не возбудится. При βхр1<β<βхр2 кривая Scp=f(Umc) и прямая обратной связи пересекутся в двух точках, т.е. уравнение баланса амплитуд имеет два решения, соответствующие двум состояниям равновесия а автогенератора. Наконец при β>βхр2 кривая Scp=f(Umc) и прямая обратной связи пересекаются только в одной точке, которая соответствует единственному состоянию равновесия автогенератора.

Рассмотрим подробнее два последних режима.

Режим автогенератора, соответствующий точке N1 является неустойчивым (рис.14.13,а). Если бы в автогенераторе установились колебания с амплитудой Umc , и под влиянием случайных факторов она уменьшилась, тогда в следующем периоде колебаний средняя крутизна оказалась бы еще меньше. Это вызвало бы уменьшение энергии, поступающей в контур и еще большее уменьшение амплитуды колебаний. Поэтому уменьшение амплитуды напряжения на сетке обязательно привело бы к срыву колебаний в автогенераторе. При случайном увеличении амплитуды напряжения на сетке средняя крутизна окажется больше и амплитуда напряжения на сетке возрастет. Напряжение на сетке будет возрастать до тех пор, пока система не перейдет в стационарное состояние, определяемое точкой N2 , которая является точкой динамически устойчивого равновесия. Но для того, чтобы в автогенераторе установились стационарные колебания, соответствующие точке N2, необходимо создать начальный электрический толчок, который превышал бы по величине напряжение Umc1.

При β>βхр2 автогенератор работает так же, как и в мягком режиме, а точка N3 является точкой динамически устойчивого равновесия. Выясним, как будет изменяться амплитуда колебаний, автогенератора, если изменять коэффициент обратной связи без какого-либо внешнего толчка.

При β<βхр1 и β=βхр2 колебаний не будет. Лишь при β=βхр2 в автогенераторе возникнут стационарные колебания с амплитудой Umc.ст2. При дальнейшем возрастании β амплитуда колебаний будет увеличиваться по закону, представленному на рис.14.13,б.

Если теперь начать уменьшать β, то амплитуда стационарных колебаний начнет уменьшаться. Но при β=βхр2 колебания не срываются. Срыв колебаний в автогенераторе произойдет лишь при β=βхр1.Поэтому β=βхр1 часто называют коэффициентом срыва βср.

Такой режим называется жестким режимом самовозбуждения генератора. Он характеризуется особенностями:

1.Кривая Scp=f(Umc) дает точку перегиба, и может пересекаться с прямой обратной связи либо в одной, либо в двух точках.

2.Существуют два критических значения коэффициента обратной связи, соответствующие возникновению колебаний и их срыву.

3.Амплитуда стационарных колебаний даже при критической обратной связи отлична от нуля.

4.При βхр1< β<βхр2 возбуждение автогенератора возможно только за счет начального внешнего толчка.

Аналогичные рассуждения можно провести, если вместо характеристики средней крутизны рассматривать колебательную характеристику.

Каждый из рассмотренных режимов самовозбуждения автогенератора имеет достоинства и недостатки. Основным достоинством мягкого режима является простота самовозбуждения при плавно изменяющейся амплитуде стационарных колебаний от нуля до максимального значения. Однако мягкий режим работы автогенератора невыгоден с энергетической точки зрения: автогенератор работает в линейном режиме и его к.п.д. не превышает 50%.

Основным достоинством жесткого режима является его экономичность, так как в нелинейном режиме к.п.д. автогенератора может быть значительно больше 50%. Недостаток жесткого режима заключается в сложности самовозбуждения автогенератора и невозможности получить колебания малой амплитуды.

При небольшом усложнении схемы автогенератора можно использовать достоинства мягкого и жесткого режимов самовозбуждения. Это достигается за счет переменного напряжения смещения: малого—до возбуждение колебаний в автогенераторе и автоматически возрастающего после возбуждения колебаний. Для этого в цепь сетки лампы автогенератора включают цепочку RcСc (рис.14.14,а).

В начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно нулю, напряжение смещения на сетке лампы также равно нулю, рабочая точка находится на участке динамической характеристики с большей крутизной и самовозбуждение автогенератора происходит в мягком режиме. После возникновения колебаний на участке "сетка-катод" лампы происходит детектирование, в результате которого на резисторе Rc появляется возрастающее напряжение смещения Ec (рис.14.14,б). Это напряжение будет создаваться за счет сеточного тока, протекающего в момент времени, когда Uc>0 . Процесс нарастания напряжения смещения закончится, когда заряд конденсатора Сc сеточным током iс уравновесится его разрядом через резистор при отсутствии тока iс.После достижения такого состояния напряжение смешения Ec будетлишь колебаться относительно среднего значения Uc=Rc Ic0 , где Ic0постоянная составляющая сеточного тока в установившемся режиме.

Для правильного режима работы автогенератора нужно, чтобы постоянная времени RcСc была значительно больше периода колебаний автогенератора, т.е. RcСc>>1/fт или RcСc >>2π/ωr

Рис. 14.14

Переходный режим генератора синусоидальных колебаний (нелинейная теория автогенератора)

Характер переходного процесса, в автогенераторе можно установить лишь, в результате решения нелинейного уравнения автогенератора, т.е. на базе его нелинейной теории. Но в общем случае нелинейные уравнения не имеют решения (нет метода решения). Поэтому при анализе переходных процессов автогенератора ограничиваются анализом частных случаев или качественным анализом; используя для этого графо-аналитические или численные методы решения нелинейного дифференциального уравнения автогенератора. Качественный скачок в решении нелинейных уравнений численными методами произошел с появлением высокопроизводительных ЭВМ, позволяющих решать уравнения с любой требуемой точностью. Но численные методы имеют существенный недостаток. Они дают решения для конкретных значений параметров и конкретных характеристик, т.е. не обладают такой универсальностью, как аналитические методы решения.

При исследовании переходных процессоввавтогенераторе,как и во многих других прикладных задачах, можно заменить точное решение приближенным. К приближенным аналитическим методам относится метод медленно меняющихся амплитуд.

В основе метода медленно меняющихся амплитуд лежит условие

Это означает, что изменение амплитуды ΔUm (14.15) за время, равное одному периоду T колебания высокой частоты, значительно меньше самой амплитуды Um.

Рис. 14.15

Легко показать, что свободные колебания одиночного контура, совершающиеся, как известно, по закону u=Um0e-αtsinω0t, удовлетворяют этому условию, если добротность контура велика. В самом деле, выписывая из последнего выражения амплитуду

Um =Um0e-αt

найдем, что

d Um =-α Um0e-αt dt

или

׀Δ Um׀ =α Um Δt

Если принять ∆, t=T =2π

ω 0

то получим формулу, определяющую приращение амплитуды за период

∆U m =π ω2α U m =π Q1 U m

0

так как Q>>1, то (ΔUm)<< Um

Можно предположить, что колебания, развиваемые в генераторе с высокочастотным колебательным контуром, также будут удовлетворять условию медленности изменения амплитуды.

В радиотехнике метод медленно меняющихся амплитуд впервые применил голландский физик Ван-дер-Поль. Дальнейшее развитие метод получил в трудах советских ученых Л.И.Мандельштама,Н.В.Папалекси,А.А. Андронова и других.

Условию (14.38) можно придать более приемлемый вид. С этой целью разделим обе чести неравенства на Т и выразим в правой части период через частоту ω0. Тогда получим

∆TU m << ω2π0 U m

Полагая T=Δt , переходя к дифференциалам и пренебрегая множителем 2π, как мало влияющим на неравенство, получим условие медленности изменения амплитуды в виде

Часто кроме этого требуют, чтобы скорость изменения амплитуды за один период менялась также незначительно по сравнению с самим изменением. Это требование приводит ко второму неравенству

Работа лампового генератора описывается дифференциальным уравнением (14.16). Из предположения, что внутреннее сопротивление лампы велико Ri = ∞, следовательно, D= 0 , уравнение будет

Как известно, при высокой добротности контура напряжениями высших гармоник можно пренебречь. На этом основании решение уравнения (14.41) будем искать в виде

UB=Uвm(t)sin ωt (14.42)

где Uвm(t)- медленно меняющаяся амплитуда (огибающая). В дальнейшем длясокращениязаписи медленно меняющуюся амплитуду будем обозначать Uвm , не забывая, что это функция времени.

Так как рассматриваемая система автономная, то фазу колебания в формуле (14.42) можно принять равной нулю. Для подстановки принятого решения (14.42) в уравнение (14.41) найдем производные

dudt в dudt в