3. Аналитическая геометрия

3.1. Уравнение прямой

Общим уравнением прямойназывается уравнение

, (3.1)

полученное из уравнения

. (3.2)

Геометрический смысл общего уравненияпрямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точкуперпендикулярно вектору, который называетсянормальным векторомпрямой

Каноническим уравнением прямойназывается уравнение

. (3.3)

Геометрический смысл канонического уравненияпрямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точкупараллельно вектору, который называетсянаправляющим векторомпрямой:

Уравнением прямой с угловым коэффициентомназывается уравнение

, (3.4)

или

. (3.5)

Геометрический смысл коэффициентаk– это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению осиOx, т.е.k=tg,b– это отрезок, отсекаемый прямой на осиOy.

Пример 3.1.Определить при каких значенияхaиbдве прямые

(a–1)x–2y–1=0 и 6x–4y+b=0

а)пересекаются;б)параллельны;в)совпадают.

Решение. Две прямые L₁: иL₂: параллельны, если

.

В частности, прямые совпадают, если

.

В случае

,

прямые пересекаются. В нашем случае, из условия

находим, что две прямые совпадают, если a=4 и b=-2. Две прямые параллельные, если a=4 и b-2. Если a4 при любом значении b, то прямые пересекаются.

Пример 3.2.Определить при каком значении параметраtпрямая

а) параллельна оси абсцисс; б) параллельна оси ординат; в) проходит через начало координат.

Решение. Прямая параллельна оси абсцисс, еслиA=0; параллельна оси ординат, если B=0; проходит через начало координат, если C=0.

В нашем случае, если , т.е. прии, прямые будут параллельны оси абсцисс:и.

Если , т.е. при, то прямая пройдёт параллельно оси ординат:.

Прямая будет проходить через начало координат, если , т.е. при:.

Пример 3.3.Заданы точкаM(–1;2) и прямаяL: –2x+y–1=0. Написать уравнения прямыхL₁иL₂, проходящих через точкуMиL₁||LиL₂L.

y L2 M o L L1 x

Решение. Сделаем чертеж. Чтобы построить прямую, достаточно знать две ее точки. Очевидно, что A(0;1), B(1;3)L. Через найденные точки проводим прямую. Прямая L задана общим уравнением прямой, тогда ее нормальный вектор имеет координаты n={–2;1}. Поскольку L₁||L  L₁n, то вектор n будет нормальным вектором также и для прямой L₁. Тогда используя формула (3.2), получим

–2(x+1)+(y–2)=0,

или

L₁: –2x+y–4=0.

Поскольку L₂L  L₂||n, то вектор n будет направляющим вектором L₂. Тогда используя формулу (3.3), получим

,

или

L₂: x+2y–3=0.

Пример 3.4.Найти координаты точкиМ, лежащей на одной прямой с точкамиA(–1;1) иB(1;5), если абсцисса и ордината этой точки равны между собой.

Решение. Найдем уравнение прямой (АВ), воспользовавшись формулой прямой, проходящей через две точки:

.

Разделив последнее уравнение на 2, получим

(AB): 2x–y+3=0.

Пусть исходная точка имеет координаты M(a;a). Так как она принадлежит прямой (AB), то ее координаты должны удовлетворять уравнению:

2a–a+3=0  a=–3.

Таким образом, искомая точка имеет координаты М(–3;–3).

Пример 3.5.. Из точкиM(3;2) выходит луч света под углом=arctg2 к осиOx. Найти уравнения падающего и отраженного лучей.

y L2 L1   K x

Решение. Найдем уравнение падающего луча. Эта прямая L₁ проходит через точку M с угловым коэффициентом

k₁ = tg = 2.

Тогда используя уравнение (3.5), получим

y–2 = 2(x–3),

или

L₁: 2x–y–4=0.

Это есть уравнение падающего луча. Чтобы составить уравнение отраженного луча L₂, нужно знать координаты точки отражения K и угловой коэффициент k₂. Координаты точки отражения K можно найти как точку пересечения прямой L₁ и оси Ox:



т.е. K(2;0). Угловой коэффициент k₂ найдем из того условия, что «угол падения равен углу отражения». Тогда очевидно, что ₂ = 180⁰–. Отсюда

k₂ = tg₂ = tg(180⁰– = –tg = –2.

Теперь известны все параметры, чтобы записать уравнение отраженного луча:

y = –2(x–2),

или

L₂: 2x+y–4=0.