Программа курса «Высшая математика» для экономических специальностей, раздел «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии»

1. Линейная алгебра

1. Понятие матрицы и обозначение ее элементов. Квадратная, диагональная, единичная и треугольная матрицы. Равенство матриц. Транспонирование матриц. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

2. Операция умножения матрицы на матрицу и ее свойства. Перестановочные матрицы. Единичная матрица.

3. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.

4. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей методом понижения порядка.

5. Свойства определителей. Вычисление определителей методом элементарных преобразований.

6. Решение системы линейных уравнений при помощи определителей. Правило Крамера. Условия применимости правила Крамера.

7. Обратная матрица; необходимое и достаточное условие ее существования. Нахождение обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

8. Решение матричных уравнений. Решение системы линейных уравнений при помощи обратной матрицы.

9. Системы линейных уравнений. Совместные, несовместные, определенные и неопределенные системы.

10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Общие и частные решения. Свободные и базисные переменные.

11. Однородная система линейных уравнений. Тривиальное решение. Условие нетривиальности однородной системы. Фундаментальная система решений.

12. Системы линейных уравнений. Общие и частные решения. Базисное решение.

13. Ранг матрицы и методы его вычисления. Теорема Кронекера-Капелли.

2. Векторная алгебра

1. Геометрическое понятие вектора. Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы.

2. Понятие о линейной зависимости системы векторов.

3. Базис векторов. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису. Длина вектора в ортонормированном базисе.

4. Декартова система координат. Координаты точки. Координаты вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек. Расстояние между точками. Деление отрезка пополам.

5. Скалярное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух ненулевых векторов. Вычисление скалярного произведения через координаты векторов. Формулы для угла между векторами.

6. Правая левая тройка векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов. Вычисление векторного произведения через координаты векторов. Геометрический смысл векторного произведения.

7. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Вычисление смешанного произведения векторов через координаты векторов. Геометрический смысл смешанного произведения векторов. Необходимое и достаточное условия компланарности трех ненулевых векторов.

8. Понятия о линейном и евклидовом пространствах.

9. Понятие о линейном операторе. Связь линейных операторов с матрицами.

10. Собственные числа линейных операторов и матриц.

3. Элементы аналитической геометрии

1. Общее уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения.

2. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения.

3. Расположение прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между двумя прямыми.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов уравнения. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Общее уравнения плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

6. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Общие уравнения прямой. Взаимное расположения прямых в пространстве.

7. Кривые второго порядка. Классификация кривых второго порядка. Каноническая форма уравнений кривых второго порядка.

8. Каноническое уравнение эллипса. Основные характеристики эллипса и его свойства.

9. Каноническое уравнение гиперболы. Основные характеристики гиперболы и ее свойства.

10. Каноническое уравнение параболы. Основные характеристики параболы и ее свойства.

11. Понятие о квадратичных формах. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

12. Полярная система координат и ее связь с декартовой системой координат.