Макарова Н.В. Статистика в Excel

ция не в самих уровнях, а в их отклонениях от полученных по оп­ ределенным аналитическим формулам теоретических значений. В таких случаях следует использовать метод гармонического анализа ряда. Сущность метода состоит в представлении функций в виде суммы гармонических колебаний. Применительно к временным рядам целью данного анализа является выявление и измерение периодических колебаний во временных рядах и автокорреляции в остатках ряда.

Классический гармонический анализ заключается в разложе­ нии периодических функций в сходящийся ряд Фурье*. Практи­ ческое проведение гармонического анализа связано с вычислени­ ем коэффициентов Фурье.

Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложе­ ние которых друг на друга (сумма) отражало бы периодические колебания фактических уровней временного ряда. С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некото­ рой функции времени, в которой слагаемые расположены по убы­ ванию периодов:

у^-а^л- Y,(^k cos/:/ + bf^ sm^/).

В этом уравнении величина к определяет гармонику ряда Фу­ рье и может быть взята целым числом (чаще всего от 1 до 4). Па­ раметры уравнения определяются на основе метода наименьших квадратов и вычисляются по формулам:

*(Fourier Jean Baptiste Joseph) Фурье Жан Батист Жозеф (1768-1830) - французский математик и физик, иностранный почетный член Петербург­ ской АН (1829), член Парижской академии наук (1817). Труды по алгебре, дифференциальным уравнениям и особенно по математической физике. Его «Аналитическая теория тепла» (1822) явилась отправным пунктом в созда­ нии теории тригонометрических рядов (рядов Фурье).

330

Исчисление параметров ряда Фурье может производиться и другими способами, в частности с помощью так называемого пре­ образования Фурье, которое применимо как к периодическим, так и непериодическим функциям.

Преобразование Фурье рассматривается в статистике обычно

в рамках одномерного спектрального анализа, который являет

обобщенным случаем гармонического анализа. Теория спектраль­ ного анализа особенно широкое применение нашла в радиотех­ нических областях, где аппарат преобразования Фурье использу­ ется для преобразования сигналов или их корреляционных функ­ ций из временной области в частотную. Цель такого преобразова­ ния — решение задач фильтрации и прогнозирования с меньшим объемом математических вычислений.

При статистическом исследовании экономических процессов следует иметь в виду, что исходные данные имеют дискретный ха­ рактер и могут быть представлены одним из двух вариантов:

•ограниченным дискретным набором данных, называемым в терминах спектрального анализа случайной последовательностью (реализацией);

•корреляционной функцией, описывающей дискретный эко­ номический процесс.

Использование корреляционной функции возможно только при достаточно большом времени наблюдения, когда на основа­ нии существующей выборки данных обоснована стационарность этого процесса, т. е. неизменность во времени математического ожидания и дисперсии.

Из теории спектрального анализа для преобразования выше­ названных двух вариантов представления экономических процес­ сов из временной в частотную область целесообразно заимство­ вать два понятия: спектр - для реализации случайной последова­ тельности и спектральную плотность — для корреляционной функции случайного процесса.

Спектр — результат преобразования Фурье из временной обла­ сти в частотную область конкретной реализации дискретного процесса (случайной последовательности).

Спектральная плотность — результат преобразования Фурье из временной области в частотную область корреляционной функ­ ции стационарного случайного процесса.

331

Рассмотрим некоторые понятия и определения спектрального анализа с целью его использования для исследования экономиче­ ских процессов.

Спектральное разложение случайной функции y{t) в действи­ тельной форме определяется выражением

Придадим спектральному разложению функции y(t) в дейст­ вительной форме комплексную форму. Комплексная форма за­ писи удобна, в частности, потому, что всевозможные линейные операции над функциями, имеющими вид гармонических коле­ баний (дифференцирование, интегрирование, решение линей­ ных дифференциальных уравнений и т д.), осуществляются го­ раздо проще, когда эти гармонические колебания записаны не в виде синусов и косинусов, а в комплексной форме, в виде экспо­ ненциальной функции. Для этого используем изрестные форму­ лы Эйлера

подставляя которые в формулу разложения функции y{t) в дейст­ вительной форме и осуществляя последующие преобразования, получаем итоговую формулу разложения функции y{t) в ком­ плексной форме:

y{i)^ I Ф,е^"*'.

При статистическом исследовании экономических процессов появляются достаточно серьезные ограничения, которые требуют

332

привлечения математического аппарата, несколько отличного от того, который был рассмотрен для случайной функции y{t).

Во-первых, исходные данные дискретны, а значит, опериро­ вать нужно не случайными функциями, а случайными последова­ тельностями }'(л) (п -t/N, где Г - период дискретизации случай­ ной последовательности).

Во-вторых, набор исходных данных характеризуется офаниченным объемом, а это значит, что, используя терминологию спе­ ктрального анализа, следует оперировать случайными последова­ тельностями у{п) конечной длины N.

Для таких последовательностей вводится понятие дискретного обратного преобразования Фурье в виде суммы спектральных со­ ставляющих:

где У(к) — комплексные числа из частотной области, соответствую­ щие амплитудам А:-й гармоники;

N — общее число наблюдений;

п- номер текущей точки.

Дискретное прямое преобразование Фурье позволяет вместо по­ следовательности у{п) из временной области получить комплекс­ ные числа Y(k) в частотной области:

Y(k)=Yy(n)^ ^ .

Для уменьшения времени вычисления дискретного преобра­ зования Фурье разработан алгоритм, получивший название быст­ рого преобразования Фурье (БПФ),

До середины 1960-х гп для представления спектрального раз­ ложения использовались точные формулы, определяющие пара­ метры синусов и косинусов. Соответствующие вычисления требо­ вали, как минимум, N комплексных умножений. Ситуация кар­ динально изменилась с открытием алгоритма БПФ, позволивше­ го сделать время выполнения спектрального анализа ряда длины

333

iVпропорциональным Mog2(7V), что, конечно, является огромным прогрессом.

Вместе с тем следует отметить, что стандартный алгоритм БПФ обладает одним существенным недостатком: число данных ряда должно быть обязательно равным степени 2 (т. е. 16, 32, 64, 128, 256, ...), Один из путей преодоления этого недостатка - до­ бавление в ряд констант (например, нулей) до тех пор, пока дли­ на ряда не станет равной степени 2. Однако такой способ, приме­ няемый при обработке электромагнитных сигналов, далеко не всегда приемлем для обработки данных, характеризующих эконо­ мические процессы. Поэтому перед применением алгоритма БПФ следует сформировать случайную последовательность y(w) с длиной N, равной степени 2.

Примечание. В Microsoft Excel дискретное прямое преобразо­ вание Фурье реализовано без множителя 1/N.

17-2.

Справочная информация по технологии работы

Режим работы «Анализ Фурье» служит для реализаций проце­ дур дискретного прямого и дискретного обратного преобразова­ ний Фурье на основе стандартного алгоритма БПФ.

В диалоговом окне данного режима (рис. 17.1) задаются следу­ ющие параметры:

1. Входной интервал - вводится ссылка на ячейки, содержащие данные, которые необходимо преобразовать. Входной диапазон может состоять из вещественных или комплексных данных (см. флажок Инверсия). Комплексные данные должны быть представ­ лены в формате JC + у,- или JC + yj. Число значений во входном диа­ пазоне должно быть равным степени 2. Максимальное число зна­ чений во входном диапазоне равно 4096.

2.Метки — см. подразд. 1.1.2.

3.Выходной интервал/Новый рабочий лист/Новая рабочая кни­ га — см. подразд. 1.1.2.

4.Инверсия - данный флажок устанавливается в активное со­ стояние для выполнения обратного преобразования Фурье и деактивизируется для выполнения прямого преобразования Фурье.

334

Пример 17.1. Данные о динамике урожайности зерновых куль­ тур в одном из хозяйств области (ц/га) приведены в табл. 17.1, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel.

Для представленного временного ряда требуется провести гар­ монический анализ динамики отклонений от основной тенденции.

Решение задачи начнем с построения трендовой модели ряда. В Microsoft Excel данную операцию удобнее всего проводить с по­ мощью инструмента «Подбор линии тренда» из мастера диаграмм (порядок работы рассмотрен в подразд. 16.2).

Анализ трендовых моделей показывает, что в качестве рабочей модели можно выбрать линейную модель:

>;^=-~-0,32/ +648,92.

Такой выбсю обусловлен тем, что, во-первых, коэффициент де­ терминации Л = 0,82 имеет достаточно высокое значение (лишь очень незначительно уступает коэффициенту детерминации R^ = 0,85 для полинома 2-го порядка); во-вторых, все коэффициенты модели значимы {см, табл. 17.4); в-третьих, при прочих равных ус­ ловиях данная модель наиболее проста для вычислений и наиболее «прозрачна» для последующей экономической интерпретации.

335

Таблица 17.1

График уравнения тренда показан на рис. 17.2.

20 J

18 +

16 + В- 14 +

12 +

о10 +

Год

Рис. 17.2

$ ^

Для более детального анализа построенной модели можно ис­ пользовать режим «Регрессия» {см. главу 14). Показатели, рассчи­ танные в данном режиме, представлены в табл. 17.2-17.5.

В табл. 17.5 (столбец Остатки) приведены значения отклоне­ ний от основной тенденции (разность между эмпирическими и теоретическими значениями). Гармонический анализ вычислен­ ных отклонений проведем с помощью режима «Анализ Фурье». Значения параметров, установленных в одноименном диалоговом окне, представлены на рис. 17.3, а рассчитанные в данном режиме показатели — в табл. 17,6 (столбец Е).

337

Таблица 17.4

Таблица 17.5

338

Анализ Фурье

-^ш

. >...^^^^:-.^..^>

Рис. 17.3

339