книги2 / 10-1
.pdf
|
|
|
|
β |
|
= |
k |
(−1)i αk−i |
, |
k |
|
. |
(4) |
||||
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2i + 1)! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение радиуса сходимости R = π |
обусловлено тем, что бли- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
жайшими точками для точки Z0 = O, не принадлежащими D (secZ), |
|||||||||||||||||
D (tg Z), являются точки Z1,2 = ± |
π |
ˆ |
|
|
|
|
|||||||||||
2 I, принадлежащие границе от- |
|||||||||||||||||
ρ (Z , Z |
) = |
Z |
|
|
|
в алгебре . |
|
|
|
|
|||||||
крытого шара O |
π |
|
ˆ |
|
(близость понимается в смысле расстояния |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
A |
) |
|
|
|
|
|
|
||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема |
2. |
|
Для |
|
функций secZ, |
tg Z в |
открытом |
шаре |
O |
π |
ˆ |
, m Z, m ̸= 0 справедливы разложения |
|
||||
2 |
πmI |
|
||||||
|
|
|
|
∞ |
αk Z − πmIˆ |
2k |
(5) |
|
|
|
|
secZ = (−1)m k = 0 |
, |
||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
βk+1 |
Z − πmIˆ |
2k+1 |
(6) |
|
|
|
|
tg Z = k = 0 |
|
, |
|||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
где коэффициенты αk, βk+1, k N0, выражаются формулами (3),
(4).
Значение радиуса сходимости R = π |
обусловлено тем, что бли- |
||||
жайшими точками для точки |
|
2 |
ˆ |
|
принадлежащими |
Z0 |
|
|
|||
= πmI, не |
|||||
D (secZ), D (tg Z), являются точки Z1,2 |
ˆ |
|
π ˆ |
||
= πmI |
± 2 I, принадлежа- |
||||
щие границе открытого шара O |
π |
ˆ |
|
|
|
2 πmI . |
|
|
Теорема 3. Для функций cosecZ, ctg Z в открытом шаре
O |
π |
π |
ˆ |
, m Z, справедливы разложения |
|
|
|||||||
2 |
2 |
+ πm I |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
π |
+ πm Iˆ |
2k |
(7) |
||
|
|
|
cosecZ = (−1)m k = 0 |
αk Z − 2 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
βk+1 |
|
π |
|
2k+1 |
(8) |
|||
|
|
|
ctg Z = −k = 0 |
Z − 2 + πm Iˆ |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где коэффициенты αk, βk+1, k N0, выражаются формулами (3),
(4).
Значение радиуса сходимости R = |
π |
обусловлено тем, что бли- |
|||
жайшими точками для точки Z0 |
|
π |
2 |
ˆ |
|
271 |
|
||||
2 |
|
|
, не принадлежащими |
||
|
= |
|
+ πm I |
|
вещественное банахово пространство n-компонентных функций с по-
компонентными линейными операциями и нормой v Ψ = v1 Ψ1 + |
||||||||
v2 Ψ2 + ... + vn Ψn , т.е. в силу (1) |
|
|
|
|
|
|||
max v (t) |
Y1 |
+ max |
v |
(t) |
Y2 |
+ ... + max |
v |
(t) . |
v Ψ = a t b 1 |
a t b |
2 |
|
a t b |
n |
Yn |
В частности, при Xi = E, Yi = H, i = 1, n, получаем вещественные банаховы пространства En = E × E × ... × E, Hn = H × H × ... × H,
Ψn = Ψ × Ψ × ... × Ψ.
В работе [4] рассмотрены вещественное банахово пространство
n o
L L
X, Y = F = (F1, F2, ..., Fn) : Fi (Xi, Yi) , i = 1, n
ограниченных линейных n-компонентных операторов, действующих
|
|
по закону |
из векторного пространства X в векторное пространство Y |
||
|
, F2x2, ..., Fnxn) , |
(2) |
F x = (F1x1 |
и вещественное банахово пространство
n o
L L
X, H = F = (F1, F2, ..., Fn) : Fi (Xi, H) , i = 1, n
ограниченных линейных n-компонентных операторов, действующих
|
|
|
|
из X в H по закону |
|
|
|
|
+ F2x2 |
+ ... + Fnxn. |
(3) |
F x = F1x1 |
Назовём операторы вида (2) n-компонентными векторными операторами первого типа, операторы вида (3) n-компонентными векторными операторами второго типа.
Ниже рассматриваются n-компонентные операторы, действующие из векторного пространства в функциональное пространство. Условимся называть такие операторы n-компонентными векторно-
функциональными операторами. |
|
|
||
По определению, n-компонентный |
векторно-функциональный |
|||
|
|
|
|
(t), A2(t), ..., An(t)), |
оператор A |
: X |
→ Ψ — это оператор |
A = (A1 |
где Ai(t) Wi, Ai(t) фиксированы, i = 1, n, действующий по следующему закону:
|
(t)x1, A2(t)x2, ..., An(t)xn) |
(4) |
Ax = (A1 |
для любого элемента .
x = (x1, x2, ..., xn) X
274
Определение (4) корректно, так как Ai(t)xi Ψi, i = 1, n, ибо, как известно ([5, с.21]), из непрерывности операторной функции следует её сильная непрерывность.
Обозначим множество n-компонентных операторов вида (4) сим-
волом .
M X, Ψ
|
|
|
|
|
|
является линейным. |
|
||
Любой оператор A M |
X, Ψ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейные операции в множестве M |
|
|
|
||||||
X, Ψ введём естественным |
|||||||||
(4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образом: |
A + B x = Ax + Bx, αA x = αAx. Используя формулу |
||||||||
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
A |
+ B = (A1(t) + B1(t), A2(t) + B2(t), ..., An(t) + Bn(t)) , |
|||||||
|
|
|
|
|
(t), αA2(t), ..., αAn(t)) . |
(6) |
|||
|
|
|
|
αA = (αA1 |
Выполнимость аксиом линейного пространства для линейных
операций (5), (6) очевидна. |
|
|
|
(t), A2(t), ..., n |
|
|
|
|
|||||||||
Для каждого оператора A = (A1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (t)) |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X, Ψ |
|||
справедливо неравенство |
Ax Ψ c1 x X , x X, где |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(Xi,Yi) |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
= max |
max |
A |
(t) |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
1 i n a t b |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||
Это означает, что каждый оператор |
|
|
|
ограничен и для |
|||||||||||||
A M |
X, Ψ |
||||||||||||||||
его естественной нормы, т.е. нормы, |
индуцированной векторной нор- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
мой пространства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
M(X,Ψ) = inf nc : |
Ax |
Ψ c x X , x Xo |
|
(7) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедлива оценка |
A M(X,Ψ) c1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наделяя множество M |
|
линейными операциями (5), (6), |
|||||||||||||||
X, Ψ |
нормой (7) и учитывая, что |
|
|
|
Ψ— банахово пространство, получаем |
|||
вещественное банахово пространство L |
|
ограниченных линей- |
|
X, Ψ |
ных n-компонентных векторно-функциональных операторов, дей-
ствующих из в по закону (4).
X Ψ
275