книги2 / 10-1
.pdfu = φ. (2)
∂Ω0
Здесь ˜ так называемый мягкий лапласиан; на стратах старшей раз-
∆
мерности d он совпадает с классическим, на стратах σd−1i размерности d − 1 он оказывается суммой нормальных дифференцирований ∂u/∂ν по всем векторам ν, направленным внутрь страт σdj, примыкающих к σd−1i. В стратах остальных размерностей он действует как нулевой оператор.
Как известно, одним из самых изящных методов доказательства разрешимости задачи Дирихле для обычного оператора Лапласа является метод Перрона. Недавно этот метод был распространён на случай задачи Дирихле для мягкого лапласиана на стратифицированном множестве. Доказано, что при условии регулярности границы, задача (1),(2) имеет классическое решение u C(Ω) ∩ C2(Ω0). Решением является верхняя огибающая
u(X) = sup v(X),
v Sφ |
|
где Sφ множество всех субгармонических в смысле оператора |
˜ |
∆ |
функций, принимающих на границе ∂Ω0 значения, не превосходящие предписанных краевым условием.
На данный момент вопрос о построении барьеров в общем случае не решён. Это не удаётся сделать даже в случае, если все страты, составляющие границу, являются плоскими. В докладе мы предложим способ их построения в случае двумерного стратифицированного множества.
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОДБОРА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ СЕМЕЙСТВА TSP И ЕГО СВОЙСТВАХ
А.В. Степанов, А.Г. Чуновкина
(Санкт-Петербург, ВНИИМ им. Д.И. Менделеева) stepanov17@yandex.ru
Рассматривается семейство TSP (two-sided power, двусторонних степенных) распределений непрерывной случайной величины [1],
© Степанов А.В., Чуновкина А.Г., 2024
241
имеющих плотность вида
f(x) = |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1x0 |
p−1 |
, x0 |
− |
r1 < x < x0, |
(1) |
||
r1 p |
2 |
|
|
|
||||||||||
r1 |
+r2 |
|
1 + x−x0 |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
−r2 |
|
, x0 x < x0 + r2, |
|
|||||||
|
+r |
|
|
|
− |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
иначе; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь параметрами распределения являются p > 0, x0 R, r1,2 0 (r1 + r2 > 0). Случай p = 1 отвечает равномерному распределению, p = 2 — треугольному, а при p = 3 распределение достаточно близко к усеченному нормальному. Частным случаем (1) является симметричное семейство распределений, которое может быть получено при r1 = r2 = r.
Несмотря на простой вид, данное семейство распределений достаточно широко и разнообразно (авторы [1] демонстрируют это, используя диаграмму соотношения моментов для его сравнения с Бета-распределением). В то же время, оно имеет простое математическое описание, облегчающее генерацию случайных значений и применение метода Монте-Карло (например, для вывода статистических критериев [2]). Указанные свойства позволяют рекомендовать данное распределение для решения разнообразных практических задач, например, для трансформирования неопределенностей измерения методом статистического моделирования [3]. Важным шагом при этом является подбор вероятностной модели (в данном случае — параметров (1)), опираясь на экспериментальные данные.
Вработе [1] предложена процедура получения оценок параметров распределения методом максимального правдоподобия. В случае, когда оценивается более одного параметра (1) (обычно — параметра степени p), получение указанных оценок требует применения численных методов.
Вданной работы в качестве альтернативы рассматривается метод выбора наиболее подходящего распределения из семейства (1) на основе обратного отображения, предложенный в работе [4], а имен-
но: для выборки экспериментальных данных xi из конечного множества S наборов параметров распределений семейства (1) выбирается набор параметров, доставляющий на S минимум функцио-
налу |
n |
F −1 |
i |
− |
x |
|
2 |
, где |
x |
|
|
(i) |
|
|
|
||||||||
i=1 |
s |
n |
|
|
(i) — вариационный ряд для рас- |
||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
— функция распре- |
сматриваемой выборки, n — ее длина, и F = F |
|
деления (1) (отвечающая набору параметров s S); обратная к ней
242
F −1 имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
||
|
|
p−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x0 − r1 + |
p |
|
|
|
|
|
|
|
y |
r1 |
|
|||
F −1(y) = |
|
r1 |
(r1 + r2)y, |
|
|
0 |
|
, |
|||||||
|
|
|
r1+r2 |
||||||||||||
x0 |
+ r2 |
− q |
r2− (r1 |
+ r2)(1 |
|
|
y) |
, |
r1+r2 < y 1. |
||||||
|
|
p |
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Помимо простоты реализации, указанный метод имеет то преимущество, что, наряду с семейством TSP позволяет рассматривать альтернативные законы распределения для выбора наиболее подходящего (например, усеченное нормальное).
Для предложенного метода выбора распределения оценивалась его эффективность методом Монте-Карло. Также проводилось его сравнение с методом максимального правдоподобия (ММП) для случая, когда оценивается только параметр степени p (рассматривался диапазон p 1 и различные значения длины выборки n). Было установлено, что оба алгоритма дают смещенную вправо оценку pˆ, причем смещение для оценки, полученной с помощью ММП, и асимметрия соответствующего распределения выше (но дисперсия распределения оценки несколько ниже). В целом, можно утверждать, что рассматриваемые методы дают сопоставимые оценки параметра p. Проводилась количественная оценка чувствительности метода выбора параметра p для различных n, в качестве тривиальной меры которой рассматривалась вероятность выбора искомого значения p в качестве оценки, при наличии альтернативного (смещенного) значения параметра. Показано, что указанная мера чувствительности, рассматриваемая как функция смещения параметра p, асимметрична (близкие распределения разделяются с более высокой вероятностью, если альтернативное распределение отвечает меньшему значению параметра p).
В общем случае предложены критерии, позволяющие сузить множество S наборов параметров семейства (1), сократив количество альтернатив для выбора. Указанные критерии опираются на выборочные статистики для экспериментальных данных, в частности, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Также для распределения (1) получены выражения для интервалов охвата (а в симметричном случае — и коэффициента охвата), рассмотрены различные способы их построения (в том числе, кратчайших интервалов охвата).
243
Литература
1.Kotz S. Beyond Beta: Other Continuous Families of Distributions with Bounded Support and Applications / S. Kotz, J.R. Van Dorp — World Scientific Publishing, 2004.
2.Stepanov A.V. On testing of the homogeneity of variances for twosided power distribution family / A.V. Stepanov, A.G. Chunovkina // Accreditation and Quality Assurance. — 2023. — no. 28. — P. 129–137.
3.BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP and OIML, Supplement 1 to the Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement — Propagation of distributions using a Monte Carlo method, JCGM 101:2008. — 2008.
4.Тырсин А.Н. Метод подбора наилучшего закона распределения непрерывной случайной величины на основе обратного отображения / А.Н. Тырсин // Вестник ЮУрГУ, Серия Математика. Механика. Физика. — 2017. — Т. 9, вып. 1. — С. 31–38.
ОДВУКРАТНОЙ ПОЛНОТЕ И БАЗИСНОСТИ ЖОРДАНОВЫХ ЦЕПОЧЕК КВАДРАТИЧНОГО
ПУЧКА ОПЕРАТОРОВ Сухочева Л.И. (Воронеж, ВГУ) l.suhocheva@yandex.ru
Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство, A, B, C
—непрерывные самосопряженные операторы, действующие в H: A
—вполне непрерывный оператор, B = B1 + B2, где B1 — равномерно положительный оператор, B2 — вполне непрерывный оператор. Рассмотрим квадратичный операторный пучок:
L(λ) = λ2A + λB + C.
Будем предполагать, что спектр оператора −B1−1C имеет не более счетного множества точек сгущения, и существует хотя бы одна точка λ0 C, являющаяся регулярной для пучка L.
Пусть λ(̸= ∞) — собственное значение пучка L (λ σp(L)), (x0, x1, . . . , xp) —- соответствующая ему жорданова цепочка.
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
В H = H H по элементам этой жордановой цепочки построим |
||||||||
векторы: |
|
|
λx1 + x0 |
|
|
λxp +pxp−1 |
) |
|
( λx00 |
, |
, ..., |
(1) |
|||||
x |
|
|
x1 |
|
|
x |
|
|
© Сухочева Л.И., 2024
244
state is the set of all vectors of the form |
|
|
|
X |
|
|
f l2as, |
3ψt1 = |
f(p, q, r, k)3tp,q,r,k1 |
, |
|
p,q,r,k |
Zν |
|
|
where l2as is the subspace of antisymmetric functions in l2((Zν)4). In this case, the Hamiltonian H acts in the antisymmetric Fock space 3Ht1. Let φ0 be the vacuum vector in the antisymmetrical Fock space 3Ht1. Let 3Ht1 be the restriction H to the subspace 3Ht1. The third triplet state corresponds the free motions of four–electrons in the lattice and their interactions. Let ε1 = A0 − A, ε2 = B0 − B, ε3 = U0 − U.
In the quasimomentum representation, the operator 3Ht1 acts in the Hilbert space Las2 ((T ν)4) be the formula
3Ht1 3 |
ψt1 |
= h(λ, µ, γ, θ)f(λ, µ, γ, θ) + U ZT ν [f(s, λ + µ − s, γ, θ)+ |
e |
|
|
Z
+f(λ, s, µ + γ − s, θ) = f(λ, s, γ, µ + θ − s)]ds + ε1[ f(s, µ, γ, θ)ds+
T ν
Z Z Z
+ f(λ, l, γ, θ)dl + f(λ, µ, ξ, θ)dξ + f(λ, µ, γ, η)dη]+ (2)
T ν T ν T ν
+ε2 |
ν |
ν |
[j=1 ZT ν 2[cosλj + cossj]f(s, µ, γ, θ)ds + j=1 ZT ν 2[cosµj + coslj]× |
||
|
X |
X |
|
ν |
ν |
×f(λ, l, γ, θ)dl+j=1 ZT ν 2[cosγj +cosξj]f(λ, µ, ξ, θ)dξ +j=1 ZT ν 2[cosθj+ |
||
|
X |
X |
|
+cosηj]f(λ, µ, γ, η)dη] + ε3[ZT ν ZT ν |
f(s, l, γ, θ)dsdl+ |
Z Z Z Z
+ f(λ, l, ξ, θ)dldξ + f(λ, l, γ, η)dldη],
T ν T ν T ν T ν
where h(λ, µ, γ, θ) = 4A+2BΣνi=1[cos λi +cos µi +cos γi +cos θi], and T ν is the ν— dimensional torus, where Las2 is the subspace of antisymmetric
functions in L2((T ν)4.
Theorem 1. Let ν = 3. Then
A).1). If ε2 = −B and ε1 < −6B, or if ε2 = −B and ε1 > 6B, then the essential spectrum of the operator 3Het1 is the union of eight segments:
σess(3Het1) = [4A − 48B, 4A + 48B] [3A − 18B + z, 3A + 18B + z]
249