![](/user_photo/_userpic.png)
книги2 / 10-1
.pdfСтроится асимптотика решения (АР) задачи Коши для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
ε2(U |
|
Xi |
|
|
) = L U + ε2F (U, p) + ε4 |
X |
|
|
|
+ |
D |
(p)U |
xi |
B |
(p)U |
xixi |
, (1) |
||
t |
|
i |
|
p |
i |
|
|
||
|
|
=1 |
|
|
U(¯x, 0, p) = ω xε¯ −1, p |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
0 < ε << 1, линейный оператор Lp, действующий по переменной p, имеет однократное нулевое собственное значение λ = 0 , λ ̸= 0 Reλ < 0; начальные условия имеют вид узкой «шапочки»
|ω(k)(¯z, p)| Ce−σ z¯ 2 , σ > 0, k = 0, 1, ... . Настоящая работа является продолжением работ [1] , [2]. Наличие нулевого собственного значения у оператора Lp относит задачу к т. н. критическому случаю
[3].
АР задачи (1)-(2) построено в виде
|
N |
|
|
|
Xi |
¯ |
¯ |
|
i |
||
U(¯x, t, p, ε) = ε |
(si(ζ, t, p) + pi(ξ, τ, p)) + R = UN + R (3) |
||
|
=0 |
|
|
¯ ¯ |
выражаются через данные задачи. Получены за- |
||
переменные ξ, τ, ζ |
дачи для определения всех членов разложения (3). При определенных условиях на функции Di(p), Bi(p), главный член АР имеет вид
¯ |
|
¯ |
|
|
s0(ζ, t, p) = h(p)φ0(ζ, t) , где h(p)- собственная функция, отвечающая |
||||
нулевому собственному значению оператора |
¯ |
|
||
L, функция φ0(ζ, t) опи- |
||||
сывается параболическим квазилинейным уравнением |
|
|||
|
m |
m |
|
|
i |
X |
X |
|
|
φ0,t + |
|
Mijφ0,xi,xj = Feff (φ0) + |
Beff,ijφ0,xi,xj |
(2) |
|
=1,j=1 |
i=1,j=1 |
|
коэффициенты Mij, Beff,ij и функция Feff (φ) выражаются через данные уравнения (1).
Оценка остаточного члена R в АР (3) проведена по невязке.
Литература
1.Нестеров А.В. Об одном эффекте влияния малой взаимной диффузии на процессы переноса в многофазной среде./ Нестеров А.В. // Журнал выч. матем. и матем физики, — 2021, — Т.61, №3, — C. 519–528.
2.Заборский А.В. Об асимптотике решения задачи Коши для сингулярно возмущенного диференциально-операторного уравнения
181
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l182x1.jpg)
переноса с малой диффузией. / А.В. Заборский , А.В. Нестеров // Журнал выч. матем. и матем физики, — 2023, — Т.63, №2, — C. 273–281.
3. Васильева А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А.Б. Васильева , В.Ф. Бутузов — М. : Изд-во МГУ, — 1978, — 262 с.
О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ШВАРЦА В ЭЛЛИПСЕ
ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ МАТРИЦ В.Г. Николаев (Великий Новгород, НовГУ)
vg14@inbox.ru
Пусть все собственные числа матрицы J C2×2 лежат выше вещественной оси. Пусть 2-вектор-функция φ = φ(z) C1(D), где область D R2. Рассмотрим в области D следующую однородную эллиптическую систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:
∂φ |
− J · |
∂φ |
= 0, z D. |
(1) |
|
|
|
|
|||
∂y |
∂x |
Определение 1. Функция φ = φ(z) как решение системы (1) называется аналитической по Дуглису (A. Douglis), или функцией, J-аналитической с матрицей J.
Рассмотрим для системы (1) следующую граничную задачу Шварца.
Пусть конечная область D R2 ограничена гладким контуром Γ. Требуется найти J-аналитическую с матрицей J в области D функцию φ(z) C(D), которая удовлетворяет граничному условию
Re φ(z) Γ = ψ(ξ), ξ Γ, |
(2) |
|
|
где вещественная функция ψ(ξ) C(Γ) известна.
Пусть 2 × 2-матрица J имеет диагональную жорданову форму J1 = diag(λ, µ). Обозначим через x, y собственные векторы матрицы J, соотвествующие ее собственным числам λ, µ. При этом λ ̸= µ. Таким образом, столбцы матрицы Q = (x, y) есть жорданов базис матрицы J. Пусть y — комплексное сопряжение вектора y. Введем в рассмотрение следующий вещественный параметр:
|
det(x, |
y |
) |
, det(x, y) ̸= 0. |
(3) |
l = l(J) = det(x, y) |
|||||
|
|
|
|
|
|
© Николаев В.Г., 2024
182
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l183x1.jpg)
Параметр l(J) определен корректно, поскольку имеет место
Лемма 1. Число l(J) (3) не зависит от выбора жорданова базиса Q = (x, y) матрицы J.
С учетом сделанных выше определений справедлива следующая
Теорема 1. Пусть матрица J C2×2 имеет разные собственные числа λ, µ, лежащие выше вещественной оси. Пусть число l = l(J) найдено по формуле (3), и пусть l [0, 1].
Тогда для любой граничной функции ψ(ξ) Hσ(Γ), 0 < σ < 1 решение задачи Шварца (2) в произвольном эллипсе K с границей Γ в классах функций φ(z) Hσ(K) существует и единственно с точностью до вектор-постоянной.
Литература
1. Николаев В.Г. О решении задачи Шварца для J-аналитических функций в областях, ограниченных контуром Ляпунова / В.Г. Николаев, А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 7. — С. 965–969.
2. Васильев В.Б. О задаче Шварца для эллиптических
систем первого |
порядка на плоскости / В.Б. |
Васильев, |
В.Г. Николаев // |
Дифференциальные уравнения. — |
2017. — |
Т. 53, № 10. — С. 1351–1361. |
|
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ КВАНТОВОЙ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ СЕКТОРЕ1
М.А. Никулин (Москва, МГУ, МЦФиПМ) nikmihale@gmail.com
В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании гипотезы Биркгофа об интегрируемых плоских бильярдах (например, см. [1]). С другой стороны, были построены математически строгие доказательства неинтегрируемости некоторых бильярдов, например, эллиптических бильярдов в сильном магнитном поле [2,3]. Неинтегрируемые бильярды, так же как и бильярды в магнитном поле, исследуются в течение долгого времени, см. [4,5]. Изменение формы бильярдного стола от эллипса к, например, стадиону, немедленно приводит к хаотической динамике [6,7].
Хорошо известно свойство интегрируемости классических бильярдов в областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. Оно
1 |
Работа |
выполнена |
при |
финансовой |
поддержке |
РНФ |
(проект № 22-11-00272). © Никулин М.А., 2024
183
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l184x1.jpg)
следует из того, что в дополнение к полной энергии системы, существует другая сохраняющаяся величина: произведение угловых моментов относительно обоих фокусов. В случае круга степень этого дополнительного интеграла может быть понижена, поскольку сохраняется угловой момент относительно центра круга. С другой стороны, в [8] показано, что для бильярда в круговом секторе сохраняющаяся величина является не угловым моментом относительно центра, а его квадратом. Недавние работы А.Т. Фоменко и В.В. Ведюшкиной ([9 —11], а также другие работы этих авторов) вновь привлекли внимание специалистов в этой теме.
В настоящей работе рассмотрено обобщение классической задачи, рассмотренной [12]. А именно, пусть задана область («эллиптический сектор»), ограниченная эллипсом с большой полуосью 0 < r0 и эксцентриситетом ε и дугой софокусной гиперболы (область Aε) или двумя дугами софокусных гипербол (область Bε). Общие для эллипса и гипербол фокусы имеют координаты (±εr0, 0). Для обеих областей мы изучаем решения стационарного уравнения Шрёдингера −2M2 2ψ = Eψ. Мы устанавливаем асимптотику для уровней энергии E(ε) при ε → 0 с точностью до o(ε2), включительно.
Доклад основан на результатах совместной работы Ф.Ю. Попеленского, А.И. Шафаревича и докладчика [13].
Литература
1.Bialy M., Mironov A. E. The Birkhoff-Poritsky conjecture for centrally-symmetric billiard tables / M. Bialy, A. E. Mironov // Annals of Mathematics. — 2022. — Т. 196. — №. 1. — С. 389–413.
2.Bialy, M., Mironov, A.E., Shalom, L. Magnetic billiards: nonintegrability for strong magnetic field; Gutkin type examples. / M. Bialy, A.E. Mironov, L. Shalom // Journal of Geometry and Physics. — 2020. — T. 154, —С. 103716.
3.Bialy M., Mironov A. E. Polynomial non-integrability of magnetic billiards on the sphere and the hyperbolic plane / M. Bialy, A.E. Mironov // Russian Mathematical Surveys. — 2019. — Т. 74. — №. 2. — С. 187.
4.Robnik, M., Berry, M.V. Classical billiards in magnetic fields. / M. Robnik, M.V. Berry // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1985. — Т. 18. — №. 9. — С. 1361.
5.Berry M. V., Robnik M. Statistics of energy levels without timereversal symmetry: Aharonov–Bohm chaotic billiards / M.V. Berry, M. Robnik // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1986. — Т. 19. — №. 5. — С. 649.
184
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l185x1.jpg)
6. Bunimovich L. A. On ergodic properties of certain billiards / L.A. Bunimovich //Functional Analysis and Its Applications. — 1974. — Т. 8. — №. 3. — С. 254–255.
7. St¨ockmann, H.J. Quantum chaos: an introduction. / H.J. St¨ockmann // Cambridge University Press — 1999.
8.G¨ongora-T A. et al. Quantum and classical solutions for a free particle in wedge billiards /A. G¨ongora–T et al. // Physics Letters A. — 2000. — Т. 274. — №. 3–4. — С. 117–122.
9.Fokicheva V. V. Description of singularities for billiard systems bounded by confocal ellipses or hyperbolas / V.V. Fokicheva // Moscow University Mathematics Bulletin. — 2014. — Т. 69. — №. 4. — С. 148–158.
10.Fokicheva V. V. A topological classification of billiards in locally planar domains bounded by arcs of confocal quadrics / V.V. Fokicheva // Sbornik: Mathematics. — 2015. — Т. 206. — №. 10. — С. 1463.
11.Vedyushkina V. V., Fomenko A. T. Integrable geodesic flows on orientable two–dimensional surfaces and topological billiards / V.V. Vedyushkina, A.T. Fomenko // Izvestiya: Mathematics. — 2019. —
Т.83. — №. 6. — С. 1137.
12.Rayleigh J. W. Theory of Sound / J.W. Rayleigh //MacMillan —
1896.
13.Nikulin M. A. Asymptotic behaviour of energy levels of a quantum free particle in an elliptic sector / M. A. Nikulin, T. Y. Popelensky, A. I. Shafarevich // Physica Scripta. — 2024. — Vol. 99, no. 1. — P. 015207.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ НАГРЕВА КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ НАГРЕВЕ
ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЕКТРОННЫМ ПУЧКОМ1
В.А. Окишев (Москва, Российский университет дружбы народов) okishev-va@rudn.ru
В докладе представлена вычислительная модель нагрева композитного материала, состоящего из вольфрама с тонким слоем карбида бора в осесимметричной постановке. Модель основана на решении уравнения для температуры. Граничные условия задают нагрев поверхности электронным пучком и испарение вещества. Плотность, теплопроводность, удельная теплоемкость и мощность испарения задаются в виде экспериментально полученных зависимостей
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00134, https://rscf.ru/project/23-21-00134/
© Окишев В.А., 2024
185
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l186x1.jpg)
от температуры материала. Показана роль напыления карбида бора на распределение температуры образца. Параметры модели взяты из экспериментов на стенде Beam of Electrons for materials Test Applications (BETA), созданного в ИЯФ СО РАН.
О ДРОБНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГОЙ
ЖИДКОСТИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА1
В.П. Орлов (Воронеж, ВГУ) orlov_vp@mail.ru
Уравнение движения в форме Коши несжимаемой жидкости единичной плотности, заполняющей область Ω в RN , N = 2, 3, ∂Ω C2, имеет вид
N
X
∂v/∂t + vi ∂v/∂xi + p − Div σ = f, (t, x) QT = [0, T ] × Ω, (1)
i=1
Здесь v(t, x) = (v1, . . . , vN ) – вектор скорости, ρ = const > 0 – плотность жидкости (которая в исследуемой ниже модели предполагается постоянной и равной единице), p = p(t, x) – давление и в точке x в момент времени t, σ – девиатор тензора напряжений, f – плотность внешних сил. Знак Div обозначает дивергенцию матрицы-функции, т.е. Div σ является вектором, координатами которого являются дивергенции векторов – строк матрицы σ.
Уравнение (1) дополняется условием несжимаемости div v = 0 и реологическим соотношением Олдройдовского типа
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
qkDtbk )E(v), |
|
|
|
|||
|
|
|
(1 + |
pkDtak )σ = ν(1 + ν−1 |
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
||
где |
M натуральное числа, p |
|
, q |
|
|
0, a |
|
, b |
k |
[k, k + 1), a |
|
, b |
> |
|||
|
r |
|
k |
|
k |
|
k |
|
|
L |
|
M |
||||
0, ν > 0, |
Dt — дробная производная Римана-Лиувилля порядка |
|||||||||||||||
r |
. Тензор |
скоростей деформаций |
E |
(v) определяется как матрица |
||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
E(u)={Eij(u)}i,j=1 |
с коэффициентами Eij(u)= 2 (∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi). |
|||||||||||||||
|
|
Обзор сред с реологическим сооотношением такого типа приво- |
дится в [1]—[2].
1 Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант №22-11-00103).
© Орлов В.П., 2024
186
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l187x1.jpg)
Траектории поля скоростей определяются как решение задачи Коши
Z τ
z(τ; t, x) = x + v(s, z(s; t, x)) ds, 0 t, τ T, x Ω, (4)
t
при этом решение z(s, t, x) понимается в смысле теории регулярных лагранжевых потоков (см. напр. [4]).
Соотношения (1)—(4) определяют начально—граничную задачу
Z:
|
∂v |
n |
|
∂v |
|
|
|
|
||
|
Xi |
|
− µ0 v− |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂t + |
vi ∂xi |
(5) |
||||||
|
|
=1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DivZ0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
G(t − s) E(v)(s, z(s, t, x)) ds + p =f, (t, x) QT ; |
|
|||||||||
z(τ; t, x) = x + Zt τ v(s, z(s; t, x)) ds, 0 t, τ T, x |
|
. |
|
|||||||
Ω |
(6) |
|||||||||
|
div v(t, x) = 0, |
(t, x) QT ; |
(7) |
|||||||
v(0, x) = v0(x), x Ω, |
v(t, x) = 0, (t, x) [0, T ] × ∂Ω. |
(8) |
Здесь ядро G(t − s) удовлетворяет оценке |G(t − s)| M(t − s)γ1−1,
γ1 = min(am − bm−1, am − am−1), µ0 = p−m1qm, при этом 0 < γ1 < 2. Пусть
W1(0, T ) ≡ {v : v L2(0, T ; V ) ∩ L∞(0, T ; H), v′ L1(0, T ; V −1)}.
Здесь V и H — пространства соленоидальных функций (см. [3], c. 20).
Определение. Пусть f L1(0, T ; V −1), v0 H. Слабым решением задачи Z называется функция v W1(0, T ), удовлетворяющая тождеству
N
X
d(v, φ)/dt − (viv, ∂φ/∂xi) + µ0(E(v), E(φ)) +
i=1
Z t
G(t − s) E(v)(s, z(s, t, x)) ds, E(φ) = f, φ ,
0
при любой φ V и п.в. t [0, T ], и начальному условию (8).
187
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l188x1.jpg)
Здесь z(s, t, x) — регулярный лагранжев поток, порожденный функцией v.
Справедлив следующий результат.
Теорема. Пусть f L2(0, T ; V −1), v0 H. Тогда задача Z имеет слабое решение.
Доказательство предполагает аппроксимацию задачи Z приближениями галеркинского типа с последующим предельным переходом на основе априорных оценок. Для исследования поведения траекторий негладкого поля скоростей u используется теория регулярных лагранжевых потоков.
Результаты получены совместно с В.Г. Звягиным.
Литература
1.Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. МИАН СССР. — 1988. — Т. 179. — С. 126–164.
2.Mainardi F. Creep, Relaxation and Viscosity Properties for Basic Fractional Models in Rheology/ F. Mainardi, G. Spada // The European Physical Journal, Special Topics. — 2011. — Т. 193. — С. 133–160.
3.Темам Р. Уравнение Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. — М. : Мир, 1987. — 408 с.
4.DiPerna R. J., Lions P. L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces / R. J. DiPerna, P. L. Lions // Invent. Math. — 1989. — T. 98, — P. 511–547.
5.Звягин В.Г. О слабой разрешимости моделей движения вязкоупругой жидкости с реологическим соотношением высокого порядка / В.Г. Звягин, В.П. Орлов // УМН. — 2022. — Т. 77, № 4. —
С.197–198.
6.Звягин В.Г. О слабой разрешимости дробных моделей вязкоупругой жидкости высокого порядка / В.Г. Звягин, В.П. Орлов // Известия РАН. — 2004. — Т. 88, № 1.
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ И РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО КЛАССА КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ В ПОЛОСЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО
ПОРЯДКА В.В. Панков (Воронеж, ВГУ)
vladimir.v.pankov@yandex.ru
© Панков В.В., 2024
188
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l189x1.jpg)
В полосе Rdn = |
(x, t) : x Rn−1, 0 < t < d исследуется следую- |
||
щая краевая |
задача: |
|
|
|
|
|
|
|
|
A (Dx, Dα,t, ∂t) v (x, t) = F (x, t) |
(1) |
где
A (Dx, Dα,t, ∂t) v = L2m (Dx, Dα,t) v − b(−1)k∂t2k−1v,
| | |
X |
j |
¯ |
L2m(Dx, Dα,t) = |
τ |
||
aτjDxDα,t |
, aτj C, Im ba0,2m = 0, |
τ +j 2m
Dτ |
= i|τ|∂τ1 ∂τ2 ...∂τn−1 , |
x |
x1 x2 xn−1 |
Dα,tu(t) — весовая производная функции u(t):
|
1 |
Dα,tu(t) = |
i pα(t)∂t(pα(t)u(t)), |
∂
∂t = ∂t
Dα,tj u(t) = Dα,t(Dα,tj−1u(t)), j = 1, 2, ...,
α(t) — специальная весовая функция, C — множество комплексных чисел. На границе t = 0 полосы Rnd задаются условия:
| |
X| |
|
Bj(Dx)v|t=0 = |
bτjDxτ ∂tj v|t=0 = Gj(x), j = 1, 2, ..., k |
(2) |
|
τ mj |
|
На границе t = d полосы Rdn заданы условия вида |
|
|
v|t=d = ∂t v|t=d = ... = ∂tm−1 v|t=d = 0 |
(3) |
Определение 1. Пространство Hs,α, 2m (Rn) , s 0, s Z со-
2k−1 d
стоит из тех функций v(x, t) L2 (Rnd ), для которых конечна норма
v |
s,α, 2m |
= |
|
|
|
|
|
|
Fξ−1xFα−1 |
|
r(ξ, η, l)FαFx |
|
ξ ∂tlv |
|
|
n |
1 |
|||||||||||
|
(2k2−m1)s |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[ |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2(Rd ) |
2 |
|||||
|| || |
|
2k−1 |
|
|
|
l=0 |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Fα[u(t)](η) = |
0 |
u(t) exp iη t |
|
α(ρ) !√α(t) — весовое преобразо- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
dρ |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
21 |
(s− |
2m |
l) |
|
(2k−1)s |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k−1 |
|
|
|
|||||||||||||
вание Фурье, r(ξ, η, l) = |
1 + |ξ| |
|
+ |η| |
|
|
|
|
|
|
|
, h |
2m |
|
i — целая |
189
![](/html/65386/283/html_UkWdlZUnkr.bpOb/htmlconvd-K23E_l190x1.jpg)
часть числа (2k−1)s . Если s N таково, что (2k−1)s Z, то эта
2m 2m
норма эквивалентна норме
||v||s,α, 2k−1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DxDα,t |
∂tv |
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
+j+ |
22km1 l s |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2m |
|
|
| |
| |
|
|
X |
|
|
|
|
τ j |
l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначим через Hs Rn−1 |
|
пространство С.Л. Соболева. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
следующие условия: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть выполнены |
|
всех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
n |
справедливо неравенство |
|||||||
Условие 1. |
При |
|
(ξ, η) |
|
m |
|
|||||||||||||||
¯ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Re bL m(ξ, η) |
|
c 1 + ξ |
|
+ |
| |
η |
| |
|
|
|
|
, где постоянная c > 0 не за- |
|||||||||
висит2от (ξ, η). |
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие 2. Для некоторого числа s 2m + max (mj) функция
1 j k
α(t) принадлежит Cs−1[0, d], причем α(0) = α′(0) = 0, α(t) > 0 при
t > 0. |
|
τj |
̸ |
|
при всех |
|
R |
|
. |
|
||
Условие 3. |
|
|
|
n−1 |
|
|||||||
|
b |
|
ξτ = 0, j = 1, 2, ..., k |
|
|
ξ |
|
|
|
|
||
|
| |P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ mj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные результаты работы — теоремы 1 и 2. |
2k−1 |
|
+ 2k−1 |
|
||||||||
Теорема 1. Пусть s max 2m, |
1 j k mj + |
|||||||||||
|
|
|
|
max |
|
2m(j−1) |
|
|
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— целое число, m 2k −1 — целое число и выполнены условия 1 – 3, тогда для любого решения v(x, t) задачи (1) – (3), принадлежащего
пространству Hs,α, 2m (Rn), справедлива априорная оценка
2k−1 d
| | 2k−1 |
|
|
− |
2k−1 |
| |
s−mj− 2k−1 −2k−1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
2m |
c |
|
|
2m |
Xj |
|
|
|
|
||
v s,α, |
|
|
Av s |
2m,α, |
|
+ |
Bjv t=0 |
2m(j−1) |
m |
|
, |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
где постоянная c > 0 не зависит от v. Здесь · s — норма в про-
странстве Соболева-Слободецкого Hs |
Rn−1 |
. |
|
|
+ 2m(j−1) |
+ |
m |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
max |
2m, |
max |
|
m |
|
|
|||||||||
|
Теорема 2. Пусть |
|
|
|
|
|
|
1 j k |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2k−1 |
|
2k−1 |
|||||||||||||||||
— |
целое |
число, |
m |
|
2k |
− |
— целое число, а также выполне- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
Gj(x) |
|
|||||||||||
ны |
условия |
1 – |
3. Пусть |
F (x, t) Hs−2m,α, 2k−1 (Rd ), |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
||
|
H |
s−mj− |
|
2k−−1 |
−2k−1 |
R |
n−1 |
|
1, 2, ..., k |
, |
|
тогда существует |
||||||||||||||
|
|
|
2m(j 1) |
|
m |
|
|
, j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
единственное решение v (x, t) задачи (1) – (3), принадлежащее про-
странству Hs,α, 2m (Rn).
2k−1 d
Литература
1. Панков В.В. Об априорной оценке решений одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков,
190