3. .Двухэтапная оптимизация производственной системы

Рассмотрим применение методологии системного анализа и принятия решений при двухступенчатой оптимизации производственной системы на примере расчета оптимальной производственной программы предприятия с учетом ограничений по ресурсам и спросу.

Постановка задачи. Пусть предприятие выпускает n видов продукции, на производство которых расходуется m видов ресурсов. Запас i-го ресурса составляет b_i. Известны затраты a_ij каждого ресурса i на производство единицы каждого продукта j. Прибыль от производства и реализации единицы j-го вида продукции равна c_j. Заданы нижние и верхние границы объема выпуска для каждого продукта j. Нижняя граница соответствует обязательному минимуму объема выпуска продукции, а верхняя граница соответствует уровню платежеспособного спроса на продукт j. Для расчета эффективности производственной системы определены себестоимости s_j производства единицы каждого вида продукта j.

Требуется определить объемы выпуска продукции, обеспечивающие получение максимальной прибыли при минимальном использовании производственных ресурсов.

Решение задачи расчета оптимальной производственной программы предприятия проводится в два этапа:

1. Максимизация суммарной прибыли P при заданных ресурсах R.

2. Минимизация используемых ресурсов R при заданном (определенном на первом этапе) уровне прибыли.

Анализ системы

Уровень исследуемой системы. Рассматривается система уровня «Предприятие».

Основные элементы системы: элемент типа «Продукт», элемент типа «Ресурс».

Параметры, которыми характеризуется элемент типа «Продукт»: «Прибыль от реализации», «Себестоимость», «Уровень платежеспособного спроса».

Параметры, которыми характеризуется элемент типа «Ресурс»: «Уровень располагаемого ресурса».

Параметры, которыми характеризуется связка элементов «Ресурс» - «Продукт»: «Норма расхода ресурса на единицу продукции».

Цель системы – максимизировать прибыль при минимальном использовании производственных ресурсов.

Управляемые переменные – «Объем выпуска каждого вида продукции».

Ограничивающие факторы: «Уровень располагаемого ресурса», «Границы объема выпуска продукта».

Этап 1. Математическая модель

1. Управляемые переменные: x_j - количество продукции j-го вида,

где j – номер (код) вида продукта, j= ,

n - количество видов продукции.

2. Целевая функция – максимизация прибыли:

найти ,

где c_j – прибыль, получаемая от реализации единицы j-го вида продукции, j= .

3. Система ограничений на значения управляемых переменных:

- Ресурсные ограничения:

, i = 1,2,…,m

где а_ij – количество i-го ресурса, необходимого для производства единицы j-го вида продукции (i= , j= ).

b_i – запас i-го ресурса;

m– количество видов ресурсов.

- Граничные условия:

,

где x_jmin и x_jmax– соответственно нижняя и верхняя границы объема выпуска продукта j.

Эффективность производственной системы определяется как отношение результата функционирования системы (суммарной прибыли) к затратам (суммарной себестоимости).

Коэффициент эффективности производственной системы: k = P/S, где S– суммарная себестоимость всего выпуска продукции.

Этап 2. Математическая модель

При заданном уровне прибыли P* (рассчитанном на первом этапе) необходимо минимизировать используемые ресурсы R.

C этой целью в модель вводятся дополнительные переменные: y₁, y_2,…,y_m.. Каждая из этих переменных является оценкой соответствующего неиспользуемого ресурса, т.е. разностью между располагаемым и использованным ресурсом. Так как y₁, y_2,…, y_m - это резервы по ресурсам, то максимизация их суммы обеспечивает минимизацию используемых ресурсов.

1. Управляемые переменные: y_i - оценка неиспользуемого ресурса i-го вида.

2. Целевая функция – максимизация неиспользованных ресурсов.

Предварительно необходимо провести нормирование целевой функции. Для этого вводятся коэффициенты z_i при переменных y₁, y_2, y₃, рассчитываемые по формуле: _.

Целевая функция оптимизационной задачи второго этапа примет вид:

найти max .

3. Система ограничений на значения управляемых переменных:

,i = 1, 2,…,m.

Кроме того, суммарная прибыль должна быть не меньше значения, определенного на первом этапе решения оптимизационной задачи:

.

Граничные условия сохраняются.