2. Оптимальное распределение взаимозаменяемых ресурсов (общая распределительная задача)

Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом.

Поэтому целью решения этого типа задач является отыскание такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате распределения доход. Распределительную задачу можно представить в виде таблицы (см. табл.3.1).

Таблица 3.1

Типичная распределительная задача

Ресурсы	Работы, которые нужно выполнить						Объем ресурсов
	J1	J2	…	Jj	…	Jn
R1	X11 C C11	X12 C C12	…	X1j C1j	…	X1n C1n		b1
R2	X21 C21	X22 C22	…	X2j C 2j	…	X2n C2n		b2
…	…	…	…	…	…	…		...
Ri	Xi1 Ci1	Xi2 Ci2	…	Xij Сij	…	Xin Cin		bi
…	…	…	…	…	…	…		...
Rm	Xm1 Cm1	Xm2 Cm2	…	Xmj Cmj	…	Xmn Cmn		bm
Объем работ	a1	a2	…	aj	…	an

Элементы C_ij стоящие в клетках матрицы, соответствуют затратам или доходу, отвечающим выделению единицы ресурса i на работу j.

Если затраты (или доход), определяемые объемом х_ij ресурса i, выделенного на выполнение работы j, равны с_ijх_ij, то имеем линейную распределительную задачу.

Постановка и формализация задачи. Пусть в системе имеется m видов взаимозаменяемых ресурсов i в объеме b_i. Ресурсы используются при выполнении n различных работ j в объеме a_j. Пусть заданы числа _ij, указывающие, сколько единиц работы j можно получить из единицы ресурса i. Кроме того, заданы числа c_ij – затраты (или доход), отвечающие выделению единицы ресурса i на работу j.

Требуется так распределить ресурсы i по работам j, чтобы суммарные затраты были наименьшими (или суммарный доход наибольшим).

Данная задача называется общей распределительной задачей.

Взаимозаменяемость ресурсов – когда одну и ту же работу можно выполнить, используя различные ресурсы.

Построим математическую модель задачи.

1. Управляемые переменные. Обозначим через х_ij – количество единиц ресурса i, выделяемое на работу j.

2. Целевая функция в зависимости от смысла величин C_ij имеет вид:

а) найти - минимум суммарных затрат (3.1)

или б) - максимум суммарного дохода. (3.1*)

III. Система ограничений:

(3.2)

(3.3)

. (3.4)

Ограничение (3.2) обеспечивает выполнение требования о полной реализации всех заданных объемов работ (при этом возможно перевыполнение плана), а ограничение (3.3) – что ресурсы должны быть израсходованы полностью. Модель (3.1) – (3.4) относится к классу моделей ЛП.