4. Интегралы вида .

Данные интегралы рационализируются подстановкой . Действительно, так каки, то, гдеR(t)– рациональная функция отt.

Пример 31. Найти.

 Полагаем ,. Следовательно,



Пример 21, представленный в лекции 2, также иллюстрирует способ рационализации интегралов рассмотренного вида.

Проанализированные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций.

Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные функции

Как было отмечено в § 1, если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то на этом промежутке существует функция F(x) такая, что F '(x) = f(x), т.е. существует первообразная для функции f(x).

В этом случае говорят, что “берется”, выражается через элементарные функции. Следует, однако, заметить, что не всякая элементарная функция имеет в качестве своей первообразной элементарную же функцию . Если интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл “не берется” или “его нельзя найти”. Нельзя, например, взять интегралы ,,,, так как не существуют элементарные функции, производные от которых были бы равны соответственно,,,. К числу “не берущихся” интегралов относится интеграл Пуассона,играющий важную роль в теории вероятностей, интегралы Френеля,, интегральный логарифм, интегральные синус и косинус,, а такжеи.

В заключение напомню известную истину, что никакая лекция, какой бы полной и понятной она Вам ни показалась, не может охватить круг рассматриваемых в ней вопросов в полном объеме. Необходимо работать самостоятельно над литературой, рекомендованной учебным планом. Но и ею не следует ограничиваться. Издается множество пособий, в которых Вы найдете для себя новое и поучительное. Именно так поступают наши отличники – «суперзвезды». Вот только один пример. Алеся Черняева (КШ–042) обратила мое внимание на так называемый «метод стрелок», который можно использовать при интегрировании по частям. Он изложен в книге «Сборник задач по высшей математике», которую написали К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин (ему, как указано, принадлежит авторство этого метода) и Ю. А. Шевченко¹

Привожу цитату из этой книги:

«Более наглядно и просто интегрирование по частям записывается с помощью эквивалентного метода стрелок

'

то есть при интегрировании произведения двух функций под каждой из них рисуется стрелка, при этом на конце одной стрелки (интегральной) пишется

первообразная соответствующей функции, а на конце другой

( дифференциальной ' ) – производная второй функции; тогда в правой части

равенства получается произведение функции, стоящей на конце интегральной стрелки, на функцию в начале другой стрелки (эти функции соединены пунктиром в формуле) минус интеграл от произведения функций на концах стрелок. Или, более кратко, справа получается: конец интегральной стрелки на начало другой минус интеграл от произведения функций на концах стрелок».^*

Ниже Алеся демонстрирует вычисление двух интегралов, основанных на этой методике.

Пример 1.Найти.

'

Пример 2.Найти

'

2

Приложение

Из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Необходимы определенные навыки, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.

Ниже представлены образцы вычисления некоторых интегралов.

1.

2. .

3.

4.

5. .

6.

.

7.

.

8.

.

9.

10.

.

11.

.

12.

.

13.

.

14.

.

15.

.

16.

.

17. .



.

. 

18.

19.

.

20.

.

21.

.

22.

.

23. I=

(смотри лекция 4, пример 8).

24.

.

25.

.

26.

.

27.

.

28.

29.

.

.

1 Лунгу К. Н. и др. Сборник задач по высшей математике. – М: Пресс Рольф, 2001 г.

*Там же. – стр. 335.