Понятие о ранге матрицы

Минором данной матрицы А называется определитель, составленный из оставшихся элементов матрицы после вычёркивания из неё нескольких строк и столбцов.

Рассмотрим, например, матрицу

а11	а12	а13	а14
а21	а22	а23	а24
а31	а32	а33	а34

Миноры третьего порядка этой матрицы получаются после вычёркивания одного столбца и замены знака матрицы ( ) знаком определителя | |. Их четыре. Миноры второго порядка получаются после вычёркивания двух столбцов и одной строки, их 18. Миноров первого порядка 12.

Рангом матрицы А (r_A) называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Можно определение ранга сформулировать и так:

рангом матрицы А (r_A) называется наибольшее натуральное число, для которого существует не равный нулю определитель k – го порядка, порождаемый матрицей А.

Убедитесь, что, например, ранг матрицы

1	2	3
2	4	6

равен 1 (r = 1), а матрицы

1	-1	0
2	0	1
1	1	1

равен 2 (r = 2).

Рассмотрим основные методы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k – го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим те миноры (k + 1) – го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1) – го порядка и обсуждаемую процедуру придётся повторить.

Пример 3. (Маша Куприянова).

Найти ранг матрицы

2	5	4	20
1	3	2	11
2	10	9	40
1	8	7	31

Фиксируем минор второго порядка, отличный от нуля:

M2 =	9	40	≠ 0
	7	31

Минор третьего порядка

	3	2	11
M3 =	10	9	40	,
	8	7	31

окаймляющий минор М₃, также отличен от нуля:

M3 =		3	9	40	-2	10	40	+11	10	9	=
			7	31		8	31		8	7

= -3 + 20 - 22 = -5

Однако минор 4-го порядка

	2	5	4	20
M4 =	1	3	2	11
	2	10	9	40
	1	8	7	31

равен нулю (убедимся сами, повторив ход мысли Маши):

	2	11	10	42		11	10	42
M4 =	1	5	5	20	= -	5	5	20	=
	2	6	5	22		6	5	22
	1	0	0	0

=	- 11	5	20	-10	5	20	+42	5	5	=
		5	22		6	22		6	5

= - (110+110-210) = 0

Следовательно, рангА равен трём (r_A = 3).

Если r_A = r_B, то матрицы А и В называются эквивалентными. Пишут А~В.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1. Замена строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;

2. Перестановка строк матрицы;

3. Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4. Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5. Прибавление к элемента модной строки соответствующих элементов другой строки.

Метод элементарных преобразований основан на том факте, что они не меняют ранга матрицы. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все её элементы, кроме а₁₁, а₂₂, ... а_rr (r <= min (m, n)), равны нулю. Следовательно ранг матрицы равен r.

Пример 4. Найти ранг матрицы

	2	11	5	2
A =	1	5	2	1
	2	3	2	-3
	-1	3	1	4

Слово опять ей, Лене Гладковой!

	2	11	5	2		-1	3	1	4
A =	1	5	2	1	~	1	5	2	1
	2	3	2	-3		2	11	5	2
	-1	3	1	4		2	3	2	-3

Далее проводим следующие преобразования.

1. а. Элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам второй строки;

b. Удвоенные элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам третьей и четвёртой строк:

	-1	3	1	4
A =	0	8	3	5
	0	17	7	10
	0	9	4	5

2. а. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы второй строки;

b. Из элементов третьей строки вычтем соответствующие элементы второй строки, умноженные на -2:

	-1	3	1	4
A =	0	8	3	5
	0	1	1	0
	0	1	1	0

3. Из элементо четвёртой строки вычтем соответствующие элементы третьей строки:

	-1	3	1	4
A =	0	8	3	5
	0	1	1	0
	0	0	0	0

4. Вычёркиваем четвёртую строку, так как все её элементы равны нулю:

	-1	3	1	4
A =	0	8	3	5
	0	1	1	0

5. Из элементов первого столбца вычтем соответствующие элементы второго столбца:

	-1	2	1	4
A =	0	5	3	5
	0	0	1	0

6. Умножим элементы первой строки на -1 и прибавим к ней соответствующие элементы третьей строки:

	-1	2	0	4
A =	0	5	3	5
	0	0	1	0

7. Из элементов четвёртого столбца вычтем удвоенные элементы второго столбца:

	1	-2	0	0
A =	0	5	3	-5
	0	0	1	0

8. К элементам второго столбца прибавим удвоенные элементы первого столбца:

	1	0	0	0
A =	0	5	3	-5
	0	0	1	0

9. К элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы четвертого столбца:

	1	0	0	0
A =	0	0	3	-5
	0	0	1	0

10. а. Вычёркиваем второй столбец, так как все его элементы равны нулю;

b. Делим элементы четвёртого столбца на -5:

	1	0	0
A =	0	3	1
	0	1	0

11. Из элементов второй строки вычтем соответствующие элементы третьей строки:

	1	0	0
A =	0	0	1
	0	1	0

12. Переставляя строки матрицы А, получаем единичную матрицу.

	1	0	0
E =	0	1	0
	0	0	1

Ранг этой матрицы определяется числом единиц на её главной диагонали и равен 3. Следовательно, таков же и ранг исходной матрицы:r_A = 3.

Понятие ранга матрицы широко используется в теории систем линейных уравнений.

Запишем ещё раз систему линейных уравнений, с которой я начинал изложение этой лекции.

а11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
а21x1 + a22x2 + a23x3 = b2			( 1 )
а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Наряду с матрицей системы

	а11	а12	а13
A =	а21	а22	а23
	а31	а32	а33

Введём её расширенную матрицу

	а11	а12	а13	b1
B =	а21	а22	а23	b2
	а31	а32	а33	b3

Вспомним, что система называется совместной, если у неё существует, по крайней мере, одно решение, в противном случае она называется несовместной.

Теорема Кронекера - Капелли. Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу её расширенной матрицы: r_A = r_B. Если ранг матрицы А системы меньше ранга расширенной матрицы В, т.е. r_A < r_B, то данная система несовместна и решения не существует.

Предоставим, читатель, ещё раз слово Маше Куприяновой. Именно ей Вы обязаны знакомством с конспектом этих лекций, именно она совместно с Леной Гладковой взяла на себя нелёгкий труд, напечатав рукопись и отредактировав её. Повторите ход мыслей Маши при решении вопроса, является ли совместной система уравнений (пример 5)

6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3

3x1 + 2x2 – 2x3 + x4 = 7

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

Маша выбрала комплексный подход к определению рангов матрицыА и расширенной матрицы В.

	6	4	5	2	3		6	2	5	2	3
А =	3	2	4	1	2	~	3	1	4	1	2	~
	3	2	-2	1	0		3	1	-2	1	0
	9	6	1	3	2		9	3	1	3	2

	6	2	5	0	3		6	2	5	3
~	3	1	4	0	2	~	3	1	4	2	rA=3
	3	1	-2	0	0		3	1	-2	0
	9	3	1	0	2		9	3	1	2

Выписывая расширенную матрицу, отделим элементы матрицы системы (матрицы А) от свободных членов системы.

	6	4	5	2	3	1		6	2	5	2	3	1
В =	3	2	4	1	2	3	~	3	1	4	1	2	3	~
	3	2	-2	1	0	-7		3	1	-2	1	0	-7
	9	6	1	3	2	2		9	3	1	3	2	2

	6	2	5	0	3	1		6	2	5	3	1
~	3	1	4	0	2	3	~	3	1	4	2	3	~
	3	1	-2	0	0	-7		3	1	-2	0	-7
	9	3	1	0	2	2		9	3	1	2	2

	2	2	5	3	1		2	0	5	3	1
~	1	1	4	2	3	~	1	0	4	2	3	~
	1	1	-2	0	-7		1	0	-2	0	-7
	3	3	1	2	2		3	0	1	2	2

	2	5	3	1
~	1	4	2	3	rB = 3
	1	-2	0	7
	3	1	2	2

Так как r_A = r_B, то система совместна.

Эту лекцию, как и вторую, закончим обсуждением решения системы линейных уравнений методом Гаусса. Практически удобнее подводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Метод Гаусса особенно «пришёлся по душе» Маше Ларькиной (ТШ-062). Ей слово.

Решаем систему уравнений (Пример 6).

3x1 + 2x2 + 5x3 – x4 = 3

2x1 - 3x2 – 3x3 + 4x4 = 1

4x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 3

5x1 – 2x2 + x3 + 3x4 = 5

1. Выпишем матрицу:

3	2	5	-1	3
2	-3	-3	4	1
4	1	3	2	3
5	-2	1	3	5

2) Умножим элементы первой строки на 4, 2, 3 и прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвёртой строки. Получим:

3	2	5	-1	3
14	5	17	0	13
10	5	13	0	9
14	4	16	0	14

3) Вычтем вторую строку из четвёртой:

3	2	5	-1	3
14	5	17	0	13
10	5	13	0	9
0	1	1	0	-1

4) Умножим элементы второй строки на 10 и вычтем из соответствующих элементов третьей строки, умноженных на 14:

3	2	5	1	3
14	5	17	0	13
0	20	12	0	-4
0	1	1	0	-1

5) Умножим элементы четвёртой строки на 12 и вычтем из соответствующих элементов третьей строки:

3	2	5	-1	3
4	5	17	0	13
0	8	0	0	8
0	1	1	0	-1

6) Используя полученную матрицу, выписываем преобразованную систему, поменяв местами третью и четвёртую строки:

-x4 + 3x1 + 5x3 + 2x2 = 3

4x1 + 17x3 + 5x2 = 13

x3 + x2 = -2

8x2 = 8

Последовательно находим неизвестные: x₂=1, x₃=-2, x₁=3, x₄=-2.