50

Лекция 4.

Применение теории матриц к решению и исследованию систем линейных уравнений

Снова рассмотрим систему трёх линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными (см. (1), лекция 2).

а11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
а21x1 + a22x2 + a23x3 = b2		( 1 )
а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Введём три матрицы:

	а11	а12	а13
А=	а21	а22	а23
	а31	а32	а33

	х1
X =	х2
	х3

	b1
B =	b2
	b3

Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в матричной форме

	а11	а12	а13	х1			b1
B =	а21	а22	а23	х2		=	b2			( 2 )
	а31	а32	а33	х3			b3

или

AX = B ( 3 )

Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Для его решения умножим левую и правую часть слева на матрицу А^-1:

А^-1АX = A^-1B

Так как А^-1A = E, а EX = X, то

X = A^-1B ( 4 )

или в развёрнутом виде

x1			A11	A21	A31	b1
x2	=	1/DA	A12	A22	A32 .	b2		( 5 )
x3			A13	A23	A33	b3

Произведя умножение матриц, находим

x1			b1A11 + b2A21 + b3A31
x2	=	1/DA	b1A12 + b2A22 + b3A32
x3			b1A13 + b2A23 + b3A33

Приравнивая элементы матриц, стоящих слева и справа, получаем

x1 =	b1A11 + b2A21 + b3A31
	DA

x2 =	b1A12 + b2A22 + b3A32
	DA

x3 =	b1A13 + b2A23 + b3A33
	DA

Это решение можно записать в форме определителей:

= = =

Пример 1. (Маша Куприянова).

Решить систему уравнений:

4x1 + x2 – x4 = -9,

X1 - 3x2 + 4x3 = -7,

3x2 - 2x3 + 4x4 = 12,

x1 + 2x2 – x3 - 3x4 = 0.

Представим её в виде матричного уравнения и запишем в виде (3), где

	4	1	0	1		x1		-9
A =	1	-3	4	0	, X =	x2	, B =	-7
	0	3	-2	4		x3		12
	1	2	-1	-3		x4		0

Решение матричного уравнения имеет вид (4). Найдём А^-1.

Имеем:

	4	1	0	1		0	7	-8	11
DA =	1	-3	4	0	=	0	5	-5	-3	=
	0	3	-2	4		0	3	-2	4
	1	2	-1	3		1	2	-1	-3

= - 17 ^. (-26) + 4 ^. 29 – 11 ^. 5 = 121

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

	3	4	0			1	0	-1			1	0	-1
A11=	3	-2	4	=38,	A21= -	3	-2	4	=-9,	A31=	-3	4	0	=-7,
	2	-1	-3			2	-1	-3			2	-1	-3
	1	0	-1			1	4	0			4	0	-1
A41= -	-3	4	0	=-22,	A12= -	0	-2	4	=-26,	A22=	0	-2	4	=38,
	3	-2	4			1	-1	-3			1	-1	-3
	4	0	-1			4	0	-1			1	-3	0
A32= -	1	4	0	=43,	A42=	1	4	0	=66,	A13=	0	3	4	=-29,
	1	-1	-3			0	-2	4			1	2	-3
	4	1	-1			4	1	-1			4	1	-1
A23= -	0	3	4	=61,	A33=	1	-3	0	=34,	A43=-	1	-3	0	=55,
	1	2	-3			1	2	-3			0	3	4
	1	-3	4			4	1	0			4	1	0
A14= -	0	3	-2	=5,	A24=	0	3	-2	=2,	A34=-	1	-3	4	=15,
	1	2	-1			1	2	-1			1	2	-1
						4	1	2
					A44=	1	-3	4	=-22.
						0	3	-2

	38	-9	-7	-22
A~ =	-26	38	43	66
	-29	61	34	55
	5	2	15	-22

следовательно,

	38	-9	-7	-22	-9
X = 1/121	-26	38	43	66	-7	=
	-29	61	34	55	12
	5	2	15	-22	0

	38(-9) + (-9)(-7) + (-7)12 + (-12)0		-363		-3
= 1/121	(-26)(-9) + 38(-7) + 43 . 12 + 66 . 0	=1/121	484	=	4
	(-29)(-9) + 61(-7) + 34 . 12 + 55 . 0		242		2
	5(-9) + 2(-7) + 15 . 12 + (-22)0		121		1

x1			-3
x2		=	4
x3			2
x4			1

Приравнивая строки матриц, стоящих слева и справа, получаем:

x₁ = -3, x₂ = 4, x₃ = 2, x₄ = 1.

Для решения матричного уравнения вида

XA = B (6)

умножим его, в отличии от (3), справа на матрицу А^-1:

XAA^-1 = BA^-1

Учитывая, что АА^-1 = Е, ХЕ = Х, находим

Х = ВА^-1 (7)

Пример 2. (Полина Зубко, КШ-062).

Решить уравнение

	-1	2	0		5	-1	3
X .	-3	2	1	=	4	2	1
	1	2	3		-1	0	2

Ход мысли Полины:

	-1	2	0		-1	0	0		-4	1
1. D =	-3	2	1	=	-3	-4	1	= -	4	3	= 16
	1	2	3		1	4	3

2.

A11=	2	1	=4,	A21=-	2	0	=-6,	A31=	2	0	=2,
	2	3			2	3			2	1
A12=-	-3	1	=10,	A22=	-1	0	=-3,	A32=-	-1	0	=1,
	1	3			1	3			-3	1
A13=	-3	2	=-8,	A23=-	-1	2	=4,	A33=	-1	2	=4
	1	2			1	2			-3	2

		4	-6	2
A-1=	1/16 .	10	-3	1
		-8	4	4

	5	-1	3		4	-6	2
X =	4	2	1	1/16 .	10	-3	1	=
	-1	0	2		-8	4	4

	20-10-24	-30+3+12	10-1+12
=1/16 .	16+20-8	-24-6+4	8+2+4 =
	-4+0-16	6-0+8	-2+0+8

	-14	-15	21
=1/16 .	28	-26	14
	-20	14	6