Учебные пособия / Эдельштейн лекции по ТММ учебник

Рис. 137. Синтез кулачкового механизма типа 1-а с роликом на штанге:

а — функция положения штанги; б — образование профиля

кулачка.

Строим механизм в положении АВ1Y1, когда центр ролика В1находится в наикратчайшем расстоянии от центраА вращения кулачка 1 (рис. 137, б). Проводим окружность радиуса Rmin. Будем сначала строить теоретический профиль кулачка ПТПТ, т. е. такой, когда на штанге 2 будет острие, совпадающее с центром ролика В. Обращаем движение. Кулачок «остановился», а осевая линия АY1 вращается около центраА с угловой скоростью ω1 При повороте кулачка на фазовый угол φу осевая линия AY1повернется тоже на этот же угол φу (относительно кулачка) и займет положение AV.

Делим фазовый угол на графике S2 = S2(φ1) (рис. 137, а)и на чертеже (рис. 137,6) на т равных частей (в нашем случае на 4). Находим по графику S2 = S2(φ1) перемещения штанги ординаты, отвечающие каждому положению механизма, S2II, S2IIIи т. д.

От окружности радиуса Rminоткладываем эти перемещения вдоль линий A II, AIII, A IV и A V и тем самым находим положения центра ролика, которые он займет вследствие скольжения штанги 2 вдоль направляющих поступательной кинематической пары С

(положения BII, BIII…).

Огибающая всех положений центра роликаВ даст искомый теоретический профиль ПТПТ кулачка. Практический профиль ППППнайдется, как огибающая всех положений ролика.

Проектирование профиля кулачка типа I, а а а старелкой хх

на штанге (рис. 138

Дана функция положения штанги S2 = S2(φ1) (рис. 138, а), кулачок вращается равномерно по стрелке часов. Известно кратчайшее расстояние от центра А вала кулачка

до тарелки хх — Rmin

Строим положение механизма AB1Y1 когда тарелка хх отстоит от тентраА вала кулачка на расстоянии, равном Rmin.Проводим окружность радиуса Rmin. Обращаем движение. Кулачок «остановился», а осевая линия AY1вращается около центраА с угловой скоростью ω1. При повороте кулачка на фазовый угол φ y осевая линия AY1(относительно кулачка) тоже повернется на этот же угол φyи займет положениеА V.

Делим фазовый угол на графике S2 = S2(φ1) (рис. 138, а)и на чертеже (рис. 138,6) на mравных частей (в нашем случае на 4). Находим по графику S2 = S2(φ1)перемещения штанги, отвечающие, каждому положению механизма, ординаты: S2II, S2IIIи т. д.

От окружности радиуса Rmin откладываем эти перемещения вдоль линий А II, AIII, А

Огибающая всех положений центра ролика будет искомым теоретическим профилем ПТПТ кулачка. Огибающая всех положений ролика линия П П П П будет практическим профилем кулачка.

4°. Определение радиуса ролика Rр о л , минимального радиуса R m in, точек контакта тарелки с профилем

кулачка и радиуса тарелки RT .

Радиус ролика не должен быть больше наименьшего радиуса кривизны теоретического профиля кулачка на его выпуклой части:

(133)

Из рис. 140видно, что если радиус ролика больше наименьшего радиуса кривизны профиля кулачка ( Ŕр о л >ωρmin),то наступает явление самопересечения огибающей, а это недопустимо. Обычно для радиуса ролика назначают размер, равный 0,5 или 0,6 от минимального радиуса кривизны теоретического профиля кулачка

Рис. 140. К определению размера радиуса ролика.

Минимальный радиус кулачка в первую очередь зависит от способов изготовления кулачка — отдельно от вала или заодно с ним и от размера самого вала кулачка. При изготовлении кулачка отдельно от вала размер минимального радиуса (рис. 141, а):

(134

где DBT—диаметр втулки кулачка, равный 1,8—2,0 диаметра вала кулачка dφB; Rрол — радиус ролика;

∆— минимальное возвышение профиля кулачка над поверхностью втулки, оно

назначается от 0,5 до 2.0 мм в зависимости от способа обработки втулки. При изготовлении кулачка вместе с валом минимальный радиус (рис. 141,6)

(134 a)

здесь dφB — диаметр вала кулачка;

∆ — минимальное возвышение профиля кулачка над поверхностью вала.

Для кулачков с роликом на штанге иногда требуют, чтобы минимальный радиус был подобран так, чтобы угол давления во

Рис. 141. к определению размера минимального радиуса кулачка:

а — при изготовлении кулачка отдельно от вала; б при изготовлении кулачка вместе с валом.

всех положениях механизма был бы равен или меньше заданного:

αmax(α≤ αmax)- При этом, конечно, должны выполняться условия(134) или (134 а).

На рис. 142 показан теоретический профиль кулачка ПТПТ, указано j-е положение механизма в обращенном движении. Для

Рис. 142. К выводу зависимости минимального радиуса кулачка от угла давления:

a— график первой производной от функции положения штанги;

б — график функции положения штанги; в — повернутый план скоростей, построенный на схеме механизма.

этого положения мы знаем значение первой производной S'2lот функции положения (рис. 142 а) и значение перемещения S2j. штанги, которое определяется по графику функции положения (рис. 142,6)

Угол давления αj- будет образован направлениями нормали пj пj , к теоретическому профилю кулачка и скорости штанги для выбранного положения механизма (рис. 142, в).

Найдем связь между углом давления и минимальным радиусом кулачка. Для положения j скорость точки В2 , принадлежащей штанге, связана со скоростью точки В1 принадлежащей кулачку, следующим соотношением:

где υB2 - скорость точки В2 , υB2 = S'2jω1 и направлена параллельно линии AYj;

υB1 - скорость точки В1, υB1 = LA B ω1и направлена перпендикулярно линии ABj;

υB2B1 - относительная скорость точки В2 относительно точки В1, она направлена

перпендикулярно нормали пj пj к профилю кулачка (по касательной к профилю). Построим повернутый план скоростей непосредственно на схеме механизма (рис.

142, в). Полюс плана р совместим с центром шарнира А. Скорость точки B1 изобразим отрезком p b 1 = АВj ., а скорость точки В2 в том же масштабе — отрезком pb2, перпендикулярным линии AYj . Скорость точки В2 относительно точки В 1 будет представлена отрезком b2 b1 , по направлению этот отрезок совпадает с направлением нормали пj пj к профилю кулачка. Следовательно, угол Аb1 b2 будет углом αj давления в этом положении механизма.

Из треугольника pb1 b2 получаем

(135)

Задаваясь amaxи тем самым зная tgamax, находим для всех положений механизма допускаемые значения минимального радиуса Rm i n . Из этих значений выбираем наибольшее и принимаем его к исполнению. При этом во всех положениях механизма угол давления будет меньше или в крайнем случае равен заданномуαmax(α≤ αmax).

Для кулачков типа I, а с тарелкой на штанге при назначении размера минимального радиуса надо иметь в виду, что профиль кулачка обязательно должен быть выпуклым. В работе профессораГеронимуса показано, что это условие всегда будет удовлетворяться следующим соотношением:

(136)

здесь | —S''2max| —наибольшая по абсолютному значению отрицательная вторая производная от функции положения штанги.

Построение огибающей к тарелке по точкам и определение радиуса тарелки R Т (кулачковый механизм типа I, а а с тарелкой на штанге)

На рис. 143, в показано j-е положение механизма в обращенном движении. Для штанги известны графики: первой производной от

Рис. 143. К определению точки касания профиля кулачка с тарелкой:

а— график первой производной от функции положения штанги;

б— график функции положения штанги; в — повернутый план скоростей,

построенный на схеме механизма.

функции положения (рис. 143, а) и самой функции положения (рис.143, б )

Значение первой производной от функции положения

и самой функции

параллельно линии AYj ;

в повернутом плане - перпендикулярно ей);

υ = lA B j ω1 —скорость точки В1 кулачка, направлена перпендикулярно лини bABj (в

B 1

повернутом плане параллельно ABj );

υ — скорость скольжения точки В2 по точке В1 направлена параллельно тарелке

B 1 B 2

х j х j (в повернутом плане — перпендикулярно х j х j ). Повернутый план скоростей построен непосредственно на схеме механизма в

масштабе радиуса (рис. 143, в), поэтому p b 1 = А В j . (полюс плана р совмещен с центром шарнира А). Отрезок pb1 соответствует скорости υ B 1 , pb2 — скорости υB 2 , b2 b1 —скорости υB 2 B 1 , а отрезок Kj Bj = pb2 .Расстояние lT j от линии AYj . до точки касания Вj тарелки с профилем, взятое в натуральную величину, будет

Вычислим длину

но

(рис. 143, а), а

поэтому

откуда расстояние oтоси AYjдо

точки контакта тарелки с профилем кулачка

(137)

Очевидно, что радиус тарелки следует назначить немногим более (во избежание работы тарелки ее углом) максимального значения первой производной от функции положения штанги:

(137 a)

5°. Формулы для подсчета полярных координат точек профиля кулачка (рассматриваются только кулачки типа I,а с острием и тарелкой на штанге) (рис. 142, в и 143, в).

Начало координат взято в центре шарнираА, ось отсчета — AY1 .

Для кулачкового механизма с острием на штанге (рис. 142, в) полярные координаты: радиус-вектор

(138)

S2 находят по графику S2 = S2(φ1) (рис. 142,6), полярный угол (профильный угол)

(138 a)

Для кулачкового механизма с тарелкой на штанге (рис. 143, в) полярные координаты: радиус-вектор

(139)

S2 j находят по графику S2 ≠ S2 (φ1) (рис. 143, б),aS'2 j — по графику S'2 = S'2 (φ1) (рис. 143, а), полярный угол (профильный угол)

(139 a)

угол δjjопределяют из формулы

(139 б)

6°. Примеры проектирования кулачковых механизмов.

Пример 1. Требуется спроектировать кулачковый механизм, у которого штанга движется поступательно. Осевая линия штанги проходит через центр вращения кулачка. На конце штанги имеется круглый ролик.

Начальные данные:

а) угловая скорость кулачка ω1= 100 сек- 1 вторая производная от функции положения штанги S"2 = ±K (на фазе удаления) и S"2=±К (на фазе приближения); максимальный ход штанги S2max= 10 мм;фазовые углы: удаления φу = 120°, верхней остановки φво = 30°, приближения φп = 120°, нижней остановки φно = 90°

б) радиус ролика Rpoл— 10 мм, диаметр вала кулачка dφв=25 мм; кулачок отковывается заодно с валом; минимальное возвышение профиля кулачка над поверхностью вала ∆ = 1,5 мм.

Профиль кулачка должен быть построен по 9 точкам для каждой фазы его угла поворота.

Решение. 1. Определяем функцию положения штанги S2 = S2(φ1) (графическое решение). На рис. 144,а дан график второй производной от функции положения штанги: S"2=S"2(φ1). (Ввиду сим-

Рис. 144. Закон движения штанги, заданный второй производной от функции положения штанги:

а— график второй производной; б — график первой производной;

в— функция положения штанги.

метричности цикла движения штанги функцию положения S2 = S2(φ1) находим только для фазы удаления.)

График первой производной, очевидно, имеет вид, показанный на рис. 144,6, поэтому

График S'2=S2(φ1) (рис. 144,6) делим на треугольники так, как это показано на рисунке. Площадь треугольника I—II—II укладывается в площади треугольника I—V —IX 32 раза. Следовательно, «цена» площади F1-II соответствует 1/32 максимального хода штанги S2.max(вся площадь треугольника I—V—IX отвечает значению S2max). Вычисление ординат графика S2(φ1) сведется к подсчету их по формуле

Гдеnj - число площадок F1-II, заключенных между началом координат графика S'2 (φ1) и jположением кулачка.