Ряд Фурье и его
сходимость
|
Пусть функция f c периодом 2 , |
|
|
|
интегрируемая на отрезке [0, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 ]. |
|
|
|
|
|
|
Тогда ей можно поставить в |
|
|
|
|
соответствие её |
|
|
|
тригонометрический ряд Фурье. |
|
|
Коэффициенты этого ряда |
|
|
|
|
называются коэффициентами |
|
|
|
Фурье и они вычисляются по |
|
|
|
формулам Эйлера-Фурье. |
|
11 |
|
|
|
|
Тригонометрический ряд
Фурье
f ( 1t) A0 |
Ak cos(k 1t) Bk sin(k 1t) , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k 1 |
|
|
|
||
A |
|
1 |
|
2 f ( t)d( t), |
t [0, 2 ] |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
2 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
1 |
|
2 f ( t) cos(k t)d( t), |
|
||||||
|
|
||||||||||
k |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B |
|
|
|
|
|
f ( t) sin(k t)d( t). |
|
||||
k |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
12 |
|||
сумма
f ( 1t) S( 1t, n) A0 n Ak cos(k 1t) Bk sin(k 1t) . 2 k 1
13
синусам
|
C0 |
|
|
f ( 1t) |
Ck sin(k 1t k ) , |
||
|
|||
2 |
k 1 |
||
C0 A0 , Ck 
Ak2 Bk2 ,
|
|
|
Ak |
|
при A 0, B |
0. |
||
|
k |
arctg |
|
|||||
|
||||||||
|
|
B |
k |
k |
|
|||
|
|
|
k |
|
|
|
||
14
Ряд Фурье по
косинусам
|
|
C0 |
|
|
|
|
|
||
f ( 1t) |
|
Ck cos(k 1t k ) , |
|||||||
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
k 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
C A , C |
k |
A2 |
B2 , |
||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
k |
k |
||
k |
arctg |
|
|
|
|
при Ak 0, Bk 0. |
|||
|
|
A |
|||||||
|
|
|
|
|
Bk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
k |
|
|
||
15
Спектр
Совокупность гармонических составляющих, на которые раскладывается сигнал называется спектром.
16
Частота и время
17
Пусть сигнал дан в
виде ряда Фурье
u( 1t) U0
Um1 sin( 1t 1 )
Um2 sin(2 1t 2 )
Um3 sin(3 1t 3 ) ... 18
Где
• U0 – постоянная составляющая
(нулевая гармоника);
•Um1sin( 1t+ψ1) – первая (основная) гармоника;
•Um2sin(2 1 t+ψ2) – вторая гармоника;
•Um3sin(3 1 t+ψ3) – третья гармоника и т. д.;
19
Где
• 1 =2 /Т – основная частота;
• Т - период сигнала;
• Um1, Um2, Um3 – амплитуды гармоник;
• ψ1, ψ2 , ψ3 – начальные фазы гармоник.
20