573

УДК 681.3.06 (075)

ББК 22.1 А-998

Рецензенты:

И.К. Березин, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ИМСС УрО РАН; В.Н. Иванов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

высшей математики Пермского национального исследовательского университета.

А-998 Аюпов, В.В.

Математическое моделирование технических систем: учебное пособие / В.В.Аюпов; М-во с.-х. РФ, федеральное гос. бюджетное образов. учреждение высшего образования «Пермская гос. с.-х. акад. им. акад. Д.Н. Прянишникова». – Пермь : ИПЦ «Прокростъ», 2017. – 242 с.

ISBN 978-5-94279-337-1

В учебном пособии представлены основные понятия, определения и положения теории моделирования и теории систем, приведена классификация математических моделей, даны описания основных форм математических моделей технических систем, используемых при решении задач современной сельскохозяйственной практики.

Учебное пособие предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлению 35.03.06 «Агроинженерия» Пермской ГСХА, для изучения курса «Математическое моделирование технических систем». Пособие может оказаться полезным студентам, магистрантам и аспирантам других направлений и специальностей сельскохозяйственных вузов при выполнении ими выпускных квалификационных работ.

УДК 681.3.06 (075) ББК 22.1

Печатается по решению Методического совета Пермской государственной сельскохозяйственной академии (протокол № 3 от 16 января 2017 г.).

Учебное издание Аюпов Васыл Вафович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Учебное пособие

Подписано в печать 31.01.2017 г. Формат 60 80 1/16 Усл. печ. л. 15,12. Тираж 50 экз. Заказ №13.

ИПЦ «ПрокростЪ»

Пермской государственной сельскохозяйственной академии имени академика Д.Н. Прянишникова

614990, Россия, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23 Тел. (342) 210-35-34

Содержание

Предисловие………………………………………………………………………. 5 Введение…………………………………………………………………………... 6

1. Общие положения теории моделирования…………………………………… 8 1.1. Моделирование как метод исследования…………………………… 8

1.2.Правила и этапы моделирования……………………………………. 15

1.3.Понятие модели………………………………………………………. 16

1.4.Классификация моделей……………………………………………... 21

1.5.Классификация математических моделей………………………….. 34

1.6.Свойства математических моделей…………………………………. 41

1.7.Общие требования и рекомендации по математическому моделированию…………………………………………………………… 53

1.8. Этапы построения и применения математических моделей……… 54

2.Системный подход……………………………………………………………... 67

2.1.Понятие системы……………………………………………………... 67

2.2.Принципы системного подхода…………………………………....... 72

2.3.Классификация систем………………………………………………. 78

3.Технические системы………………………………………………………….. 102

3.1.Техника………………………………………………………………... 102

3.2.Технический объект…………………………………….......………... 103

3.3.Жизненный цикл технического объекта……………………………. 103

3.4.Техническая система…………………………………………………. 105

3.5.Признаки технических систем………………………………………. 110

3.6.Технология……………………………………………………………. 110

3.7.Взаимосвязь техники и технологии…………………………………. 112

4. Проектирование технических систем………………………………………… 113

4.1.Методология проектирования……………………………………….. 113

4.2.Рассмотрение техники и технических объектов с позиций

системного подхода………………………………………………………. 113

4.3.Структура и параметры объектов проектирования………………... 118

4.4.Стадии, аспекты и режимы процесса проектирования…………….. 120

4.5.Постановка задач проектирования………………………………….. 122

4.6.Особенности технологии автоматизированного проектирования технического объекта……………………………………………………... 124

5.Основы теоретической механики……………………………………………... 127

5.1.Кинематика…………………………………………………………… 129

5.2. Динамика материальной точки……………………………………… 131

5.3.Две основные задачи динамики точки…………………………….... 132

5.4.Дифференциальные уравнения движения материальной точки….. 134

6.Динамика механической системы…………………………………………….. 136

6.1.Связи…………………………………………………………………... 136

6.2.Действительные и возможные перемещения, число степеней

7. Дифференциальные принципы теоретической механики…………………… 149

7.1.Примеры несвободных систем………………………………………. 149

7.2.Принцип виртуальных перемещений……………………………….. 155

7.3.Применение принципа виртуальных перемещений……………….. 156

7.4.Принцип Даламбера………………………………………………….. 158

8.Введение в теорию размерности величин……………………………………. 165

8.1.Размерные и безразмерные величины……………………………..... 167

8.2.Основные и производные единицы измерения…………………….. 171

8.3.О формуле размерности…………………………………………….... 178

8.6.Параметры, определяющие класс явлений…………………………. 192

9.Теория подобия………………………………………………………………… 196

9.1.Метод обобщенных переменных……………………………………. 196

9.2.Теоремы подобия…………………………………………………….. 201

10.Экспериментальные факторные модели…………………………………….. 206

10.1.Особенности экспериментальных факторных моделей………….. 206

10.2.Принципы планирования эксперимента…………………………... 212

10.3.План эксперимента………………………………………………….. 216

10.4.Регрессионный анализ……………………………………………… 219

11.Примеры моделирования механических систем……………………………. 220

11.1.Задача о колебаниях математического маятника…………………. 220

11.2.Задача о двойном математическом маятнике……………………... 227

Заключение………………………………………………………………………... 238

Контрольные вопросы к разделам……………………………………………….. 239 Список использованной литературы…………………………………………….. 241

4

Предисловие

Настоящее пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов инженерного факультета, изучающих дисциплину математического и естественнонаучного цикла ―Математическое моделирование технических систем‖ и теоретические основы работы технических систем – машин и механизмов.

Целью дисциплины «Математическое моделирование технических систем» является изучение методов построения и анализа математических моделей, постановка и решение задачи синтеза проектируемых и оптимизации находящихся в эксплуатации технических систем (машин, механизмов и т.п.)

Содержание учебного пособия построено на материалах различных литературных источников, авторских разработках по системному подходу, математическому моделированию и на базе созданного и прочитанного курса лекций в Пермской государственной сельскохозяйственной академии.

Для освоения материала данного учебного пособия достаточно знаний, полученных студентами при изучении курсов высшей математики, компьютерной математики и теоретической механики.

5

Введение

Жизнь любого человека сопровождается процессами моделирования и различными моделями. Использование различных учебных пособий, макетов в школьные годы, проведение лабораторных экспериментов, расчетов в студенческие годы, разработка чертежей, проектирование и расчет реальных устройств и процессов, построение теорий различного рода и назначения – примеры использования моделей и моделирования, когда реальные объекты и процессы заменяются их отображениями (моделями, описаниями и т.д.).

Если кратко охарактеризовать моделирование, то оно заключается в замене реальной системы (процесса, явления) моделью, которая находится с ней (с ними) в некотором соответствии и способна воспроизводить интересующие исследователя свойства или характеристики реальной системы.

Безусловно, моделирование является не единственным методом изучения окружающего нас мира. Но роль моделирования в науке, в исследованиях инженерных, организационных, экономических объектов и систем и, вообще, в жизни человека, весьма велика. Можно утверждать: познание лю-

бого объекта, системы, процесса, явления сводится, по существу, к созданию его (ее) модели.

Познание и изучение окружающего нас мира можно осуществлять различными способами и методами. Но при исследовании различных сложных объектов, явлений, процессов, при создании, организации и оптимизации сложных систем метод моделирования является одним из самых мощных методов. Так, перед изготовлением любого технического устройства или сооружения разрабатывается его модельпроект, человек, прежде чем совершить что-либо, обдумывает возможную последовательность действий и возможные

6

последствия этих действий, организуя взаимодействие множества объектов, т.е. организуя деятельность некоторой системы, человек организует систему так, чтобы получить максимальный эффект от деятельности такой системы и т.д. Причиной все более расширяющегося применения моделей является то, что процессы, происходящие в модели, можно регистрировать, проверять их соответствие результатам теоретического анализа, заменять аналитические расчеты процессов их непосредственным наблюдением, т. е. эффективно решать все основные задачи экспериментального исследования.

Можно отметить и другой существенный фактор, способствующий значительному повышению интереса к методам моделирования как в науке и технике, так в других областях, – это развитие и широкое распространение средств вычислительной техники. С помощью моделей, реализованных на компьютере, можно изучать новые явления, решать практически все задачи анализа и проектирования сложных систем, осуществлять выбор наилучших вариантов решений, выполнять анализ и прогнозирование поведения технических систем и решать множество других задач.

В этом учебном пособии рассматриваются общие вопросы моделирования, классификации моделей, конкретные методы и алгоритмы построения математических моделей, основанных на принципах теоретической механики.

Данное учебное пособие предназначено для ознакомления студентов, магистрантов и аспирантов сельскохозяйственных вузов, обучающихся по направлениям «Агроинженерия», с основами моделирования сложных технических объектов и систем, используемых в сельскохозяйственной практике.

7

1. Общие положения теории моделирования

1.1. Моделирование как метод исследования

Модель и моделирование – универсальные понятия, атрибуты одного из наиболее мощных методов познания в любой профессиональной области, познания систем, процессов, явлений. Модель и моделирование объединяют специалистов различных областей, работающих над решением междисциплинарных проблем.

Под моделированием в широком смысле принято понимать процесс построения, изучения и совершенствования моделей, их использование в научных исследованиях (теоретических и экспериментальных), применение моделей непосредственно в процессах планирования, управления, оптимизации, прогнозирования, контроля и т.д.

Моделирование как метод исследования является мощным инструментом познания на протяжении всей истории развития человечества. Одним из примеров созданной человеком системы моделей, адекватно отражающей широкий класс явлений и процессов реального мира, являются, например, модели классической механики.

Моделирование как инструмент познания требует творческого подхода и определенного искусства владения им. С другой стороны, моделирование как наука опирается на научные знания той области, где этот инструмент познания используется. Например, для построения математической модели автомобильного поезда (АП) требуются знания законов теоретической механики, движения АП в различных эксплуатационных условиях и различных режимах движения и т.д. Только глубокие профессиональные знания исследователя в сочетании с творческим подходом к решаемой проблеме могут быть основой для успешного применения метода

8

моделирования. Сам процесс моделирования предполагает такой способ изучения объекта, при котором модель, с точки зрения цели исследования, вполне точно (адекватно) и достаточно полно замещает изучаемый объект в процессе познавательной деятельности.

Моделирование относится к общенаучным методам познания. Использование моделирования на эмпирическом и теоретическом уровнях исследования по своей сущности приводит к условному делению на материальное (физическое) моделирование, теоретическое (абстрактное) и идеальное моделирование.

Материальное моделирование – это моделирование,

при котором исследование объекта выполняется с использованием его материального аналога, воспроизводящего основные физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики исследуемого объекта.

Основными разновидностями материального моделирования являются натурное и аналоговое.

Натурное моделирование – это моделирование, при ко-

тором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог, допускающий исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия.

Примерами натурных физических моделей являются модели гидротехнических сооружений, военные учения, аэродинамическая труба, воспроизводящая условия полета самолета в воздушном пространстве, экспериментальный макет автомобиля и многое другое.

К достоинству физического моделирования следует отнести получение достаточно достоверных результатов, кото-

9

рые необходимы для принятия правильных решений при проектировании, планировании, контроле, управлении, прогнозировании и т.д. К недостаткам следует отнести относительно высокую стоимость по сравнению с математическими моделями, а также трудность быстрой (оперативной) доработки модели при переходе от одного варианта к другому. Изготовление физической модели занимает много времени, а соответствие измеренных искомых величин на модели оригиналу бывает достаточно грубым, что искажает в некоторой степени изучаемый процесс.

Аналоговое моделирование – моделирование, основан-

ное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами).

Таким образом, аналогия не предполагает тождественности физической природы модели и прототипа, но требует, чтобы модель при некоторых условиях вела себя аналогично поведению оригинала (косвенное подобие). Аналогия основана на возможности моделирования явления (системы, процесса) одной природы явлениями (системами, процессами) совсем другой природы. Например, электромеханическая аналогия: колебания в механических системах можно моделировать колебаниями в электрических цепях. При этом модель (аналог) и оригинал (прототип) описываются одинаковыми математическими соотношениями, например дифференциальными уравнениями. На этом сходстве основана теория аналогий и аналоговое моделирование. Аналоговые, а затем цифровые и гибридные вычислительные машины позволяют решать широкий класс линейных и нелинейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях. На моделях-аналогах можно "проигрывать" различные ситу-

10