573

Связь голономная, стационарная, удерживающая. Две степени свободы (четыре вариации координат 1 1 2, 2) связаны двумя зависимостями, которые легко найти варьированием уравнения (6.7), если отсутствует третье между кольцом и проволокой и также между клином горизонталь-

ной плоскостью, то эти связи идеальные.

Пример. При тех же условиях, что и в предыдущем примере, движение клина задано заранее: клин перемещают равномерно в направлении оси х со скоростью v. Координаты кольца связаны уравнением

(6.8)

Связь голономная, нестационарная, удерживающая. Одна степень свободы. Фиксируя t и варьируя (6.8), находим

т.е. две вариации связаны одним уравнением. Если трения между кольцом и проволокой нет, эта связь идеальная.

Пример. Колесико планиметра (прибора для измерения площадей по картам и планам) катится без скольжения по горизонтальной плоскости карты. Положение колесика опреде-

исключает перемещение в направлении, перпендикулярном его плоскости.

Следовательно, вектор c лежит в плоскости колесика, и

Динамика несвободных систем сводится к динамике свободных систем на основе аксиомы о связях: не изменяя движение системы, связь можно отбросить, заменив ее действие соответствующей силой – реакцией связи; после замены система рассматривается уже как свободная.

Силы, действующие на материальные точки системы, разделяют на внутренние – силы взаимодействия между точками самой системы и внешние, обусловленные действием

прочие точки данной системы; равнодействующую всех

Внутренние силы любой механической системы обладают важными свойствами:

1)геометрическая их сумма равна нулю:

2) геометрическая сумма моментов внутренних сил относительно любой точки пространства равна нулю:

Оба эти свойства − следствие того, что внутренние силы равны и направлены противоположно друг другу по одной прямой, на которой лежат точки (третий закон Ньютона).

142

6.3. Общие теоремы динамики системы

Число общих теорем в случае системы равно четырем, тогда как в случае точки их три. Четвертая теорема – о движении центра масс – только по форме отличается от теоремы об изменении количества движения. Две другие теоремы те же, что и в случае точки: об изменении кинетической энергии и об изменении момента количества движения.

Пусть несвободная (со связями) механическая система состоит из N материальных точек, массы которых m1, m2,…,mN. Пользуясь аксиомой о связях, освободим систему от наложенных связей и приложим к ее точкам силы, равные реакциям связей. После этой операции разделим все силы, действующие на точки системы, на два класса: внешние внутренние. Последние, как и силы взаимодействия между точками системы, должны удовлетворять принципу «действия и противодействия» согласно третьему закону Ньютона. Дифференциальные уравнения движения материальных точек системы теперь такие:

k k ek ik,(k=1,2,…,N),

где ek – главный вектор (геометрическая сумма) всех внешних сил, действующих на точку mk; ik – главный вектор всех внутренних сил, действующих на ту же точку mk.

Ввиду того, что вывод общих теорем динамики системы аналогичен выводу таких же теорем в динамике точки, рассмотрим следующую схему. Представим уравнения движения точек mk системы согласно второму закону Ньютона. Система, хотя и состоит из отдельных точек, представляет собой единое целое. Просуммируем уравнения движения точек по всем точкам системы. В результате приходим к трем теоремам.

143

Введем обозначения:

∑ k k – количество движения системы – гео-

метрическая сумма количеств движения всех материальных точек системы;

∑k 2k – кинетическая энергия системы –

сумма кинетических энергий всех точек системы;

сил системы (геометрическая сумма всех внешних сил системы);

eo ∑ k ek – главный момент внешних сил системы относительно центра О (геометрическая сумма мо-

ментов всех внешних сил системы относительно центра – начала координат О);

Сформулируем обще теоремы динамики системы.

В движении механической системы относительно инерциальной системы отсчета имеют место следующие равенства:

1. Теорема об изменении количества движения меха-

нической системы. Производная по времени от количества

144

движения системы равна главному вектору (геометрической сумме) всех действующих на систему внешних сил:

2. Теорема об изменении кинетической энергии меха-

нической системы. Дифференциал кинетической энергии механической системы равен элементарной работе внешних и внутренних сил, приложенных ко всем точкам системы:

3. Теорема об изменении кинетического момента си-

стемы. Производная по времени от кинетического момента системы, взятого относительно неподвижного центра, равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра:

eo.

Следует иметь в виду, что количество движения точки k k – связанный вектор, он приложен к материальной точке mk, тогда как количество движения системы – вектор свободный; обычно на рисунках прикладывают к началу координат. Главный вектор внешних сил e – это свободный вектор. Кинетический момент системы о по своему определению связан с центром О, относительно которого берутся моменты; то же характерно и для главного момента внешних

сил ео.

Главный вектор внешних сил системы е, поскольку это свободный вектор, можно найти так. От какой-нибудь точки пространства, например, от начала координат, откладываем векторы, равные внешним силам системы еk. Затем геометрически откладываем их по правилу параллелограмма или,

145

лучше, по правилу многоугольника. Вектор е получим, если в центре (т.е. в точке О, относительно которой берутся моменты) сложим геометрически моменты всех внешних сил по правилу многоугольника.

6.4. Теорема о движении центра масс механической системы

Рассмотрим четвертую теорему динамики системы. Центром масс механической системы называется гео-

метрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю:

лом второй вектор, начало третьего – к концу второго и т.д.;e представляем вектором, замыкающим многоугольник.

и после дифференцирования по времени получаем

c, (6.14)

т.е. количество движения любой механической системы равно массе системы, умноженной на скорость центра масс.

равенство одинаковой структуры с равенством, выражающим второй закон Ньютона. Поэтому имеет место теорема:

Центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной масса всей системы, на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил системы.

Пример. Центр масс прыгуна в воду с трамплина движется по параболе, если пренебречь сопротивлением воздуха.

6.5. Случай замкнутой механической системы

Механическая система называется замкнутой, или изолированной, если на нее не действуют внешние силы. В отсутствие внутренних диссипативных сил движение системы материальных точек происходит под действием одних только внутренних центральных сил, удовлетворяющих третьему закону Ньютона и зависящих только от расстояния между телами (точками) системы. Такие силы потенциальные стационарные; для них существует потенциальная энергия Пi –

В проекции на декартовы оси координат, получаем семь первых интегралов: три интеграла количества движения, один интеграл энергии и три интеграла кинетического момента.

147

Кинетическая энергия Т, количество движения и кинетический момент о аддитивны: любая из этих величин для системы равна сумме значений для каждой из материальных точек. В классической механике это верно и при наличии взаимодействия между точками.

Кроме семи первых интегралов движения для замкнутой системы существуют еще три вторых интеграла. Это инте-

масс замкнутой механической системы движется равномерно и прямолинейно.

Наличие внутренних диссипативных сил в замкнутой системе не является помехой для выполнения законов сохранения количества движения и кинетического момента. Не выполняется при этом только закон сохранения механической энергии, которая частично превращается во внутреннюю энергию.

148

7. Дифференциальные принципы теоретической механики

7.1. Примеры несвободных систем

Рассмотрим пояснение общих определений, данных ранее, на примерах.

Пример 1. Математический маятник – это материальная точка массы m, колеблющаяся по дуге окружности в однородном поле тяжести в вертикальной плоскости . Реализуется маятник в виде груза, подвешенного на капроновой нити. Положение маятника можно задавать декартовыми координатами x, yгруза. Эти координаты связаны соотношением

где l – длина маятника.

При заданной длине l в качестве координаты, определяющей положение маятника, проще пользованиям углом отклонение нити от вертикали, отсчитывая этот угол против часовой стрелки. Преимущества использования угла :

1)число координат меньше (одна вместо двух);

2)– независимая координата, x, y связаны уравнением

(7.1).

Уравнение (7.1) представляет собой ограничение, заданное заранее, независимое от динамических уравнений движения. Подобные ограничения называются связями. Связь (7.1) голономная, стационарная, удерживающая. Голономная связь содержит только координаты; стационарная связь не содержит явно времени t, удерживающая связь представлена уравнением, а не неравенством.

Кроме силы тяжести на груз действует сила упругости нити – реакция связи. Сила тяжести задана заранее, она является активной. Реакция связи (пассивная сила) заранее не за-

149

дана, она подлежит определению из уравнений механики; ее значение от величины активной силы.

Рассмотрим виртуальное (возможное) перемещение маятника. Пусть в фиксированный момент времени t координаты груза равны x, y. Разность координат и в тот же момент t двух бесконечных близких положений, совместимых со связями, определяют виртуаль-

ное, или возможное, перемещение маятника. Поскольку оба

Виртуальное перемещение определяется вариациями координат , которые должны быть согласованы с уравнениями связей по определению с точностью до главной линейной части приращения включительно. Это означает, что мы получим уравнение для вариаций координат, если сохраним в (7.1) только линейные члены. Следовательно, для любого фиксированного момента t вариации координат удовлетворяют равенству

Связь (7.1) является идеальной. Это означает: работа реакции нити на любом виртуальномперемещении равна нулю. Действительно,

Равенство нулю работы можно заключить также из того, что вектор реакции перпендикулярен

Пример 2. Математический маятник, подвешенный к

150