- •Введение
- •Основы алгоритмизации
- •Алгоритм, его свойства
- •Базовые алгоритмические структуры
- •Алгоритмы численных методов
- •Алгоритмы методов решения нелинейных уравнений
- •Метод половинного деления
- •Метод итераций
- •Метод Ньютона
- •Метод хорд
- •Алгоритмы методов интерполяции функции
- •Метод Лагранжа
- •Первая интерполяционная формула Ньютона
- •Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •Алгоритм аппроксимации функции методом наименьших квадратов
- •Алгоритмы методов численного интегрирования
- •Метод средних прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод Симпсона
- •Алгоритмы методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Алгоритмы методов одномерной оптимизации
- •Метод дихотомии
- •Метод золотого сечения
- •Метод средней точки
- •Алгоритмы методов многомерной оптимизации
- •Создание схем алгоритмов с использованием графического редактора ms Visio
- •Назначение ms Visio
- •Создание документа, открытие и сохранение файлов
- •Создание простых схем
- •3.4.Настройка внешнего вида блоков схемы алгоритма
- •3.5. Работа с текстом
- •Список литературы
Алгоритмы численных методов
Алгоритмы методов решения нелинейных уравнений
Метод половинного деления
Решение нелинейного уравнения методом половинного деления с использованием процедуры, схема алгоритма которой представлена на рис. 2.1-1, требует дополнения процедуры-функции f(x), в которой вычисляется левая часть уравнения. Корень уравнения f(x)=0 должен быть предварительно отделен на отрезке [a;b].
Рис. 2.1-1. Алгоритм метода половинного деления
Суть метода половинного деления [3]заключается в получении последовательности вложенных друг в друга отрезков [a1;b1], [a2;b2], …,[ai;bi],…, [an;bn], таких что f(ai).f(bi) <0, где i=1,2,…,n. При этом длина каждого последующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего. Тогда последовательное сужение отрезка вокруг неизвестного значения корня ξнанекотором шаге nобеспечивает выполнение неравенства |bn - an|<e, которое и является условием выхода из цикла.Очевидно, что с точностью любое может быть принято за приближенное значение корня. Обычно выбирают середину отрезка
Метод итераций
Алгоритм процедуры, реализующей решение нелинейного уравнения методом итераций, представлен на рис. 2.1-2. Его использование требует дополнения двух процедур-функций: fi(x)–итерирующая функция и f(x)– левая часть исходного уравнения.
Рис.2.1-3. Алгоритм метода итераций
Метод итераций предполагает замену уравнения f(x)=0 равносильным уравнением x=j(x) [3].Функция j(x) называется итерирующей функцией. Если корень уравнения отделен на отрезке [a;b], то исходя из начального приближения x0Î[a;b], получают последовательность приближений к корню:
x1 = j(x0), x2 = j(x1), …, xn= j(xn-1).
Условие сходимости метода итераций определяется теоремой:
Если все члены последовательности xn=j(xn-1)Î [a;b]и существует такое q (0<q<1), что для всех хÎ [a; b] выполняется условие |j’(x)| = q<1,то эта последовательность является сходящейся, а процесс итерации сходится к корню уравнения независимо от выбора начального приближения.
Метод Ньютона
Алгоритм процедуры, реализующей решение нелинейного уравнения методом Ньютона, представлен на рис. 2.1-3. Корень нелинейного уравнения должен быть отделен на отрезке [a;b], причем первая и вторая производные ( и ) непрерывны и знакопостоянны при хÎ [a;b].
Использование алгоритма требует двух процедур-функций: f(x)–левая часть исходного уравнения и f1(x)– производная от f(x).
Все последующие приближения к корню получаются с использованием итерационной формулы [3]
где i = 0, 1, …n-1.
В качестве начального приближения к корню выбирают точку х0Î[a;b], где .
Процесс вычислений прекращается, если
,
где ε - заданная точность;
- наименьшее значение при
- наибольшее значение при
Для оценки полгрешности также используются следующих выражений:
Рис.2.1-3. Алгоритм метода Ньютона
Метод хорд
Схема алгоритма процедуры, реализующей метод хорд, представленная на рис. 2.1.4.-1, требует дополнения процедуры-функции f(x), в которой вычисляется левая часть уравнения.
Рис.2.1-4. Алгоритм метода хорд
Корень нелинейного уравнения должен быть отделен на отрезке [a;b], причем первая и вторая производные ( и ) непрерывны и знакопостоянны при хÎ [a;b].
Рекурентная формула метода хорд [3]:
где - неподвижная точка.
Неподвижен тот конец отрезка [a;b], для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х0.
Оценка погрешности метода хорд можно определить одним из выражениями:
где m1и M1 – соответственно, наименьшее и наибольшее значения при .
В случае, если M1<2m1, то для оценки погрешности метода может быть использована формула
| xn-xn-1|£e.