лекции

Адаптивные системы

Если параметры объекта или возмущений известны неточно или могут изменяться со временем (в нестационарных системах),

применяют адаптивные или самонастраивающиеся регуляторы, в

которых закон управления меняется при изменении условий. В простейшем случае (когда есть несколько заранее известных режимов работы) происходит простое переключение между несколькими законами управления. Часто в адаптивных системах регулятор оценивает параметры объекта в реальном времени и соответственно изменяет закон управления по заданному правилу.

Самонастраивающаяся система, которая пытается настроить регулятор так, чтобы «найти» максимум или минимум какого-то критерия качества, называется экстремальной (от слова экстремум, обозначающего максимум или минимум).

03.03.2014

Математическое описание линейных САУ.

Описание звеньев во временной (t) и частотных ( ) областях, а также комплексной переменной (s).

а) во временной области; б) в частотной области; в) в области комплексной переменной

Рисунок 12 – динамическое звено

X(s) – изображение по Лапласу.

= +≡ ≡

p – оператор дифференцирования= – частотная область

В общем случае система с одной входной переменной x(t) и одной выходной y(t) во временной области может быть записана в виде

( 0 + 1 −1 + + −1 + ) ( )

= ( 0 + 1 −1 + + −1 + ) ( ) (2.2)

Для s-области входные и выходные значения переменных звеньев записываются в виде преобразования Лапласа – L. Основным описанием звена в этом случае является передаточная функция - отношение преобразования Лапласа (изображение) выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях : ( ) = ( )/( ),

где s – комплексная переменная = + .

Для обозначения сигналов и переменных в комплексной форме будем использовать прописные буквы.

Связь между оригиналом сигнала x(t) и его изображением X(s) в преобразовании Лапласа для входной переменной имеет вид:

Таким образом в s-области запись уравнения в операторной форме изображений по Лапласу входной X(s) и выходной Y(s) переменных по структуре совпадает с (2.2), но при использовании комплексной переменной = + :

( 0 + 1 −1 + + −1 + ) ( )

= ( 0 + 1 −1 + + −1 + ) ( )

Или в виде передаточной функции:

12

( )( ) = ( ) ( . )

Для частотной области: ( ) = ( )/ ( )

Так частотную передаточную функцию можно получить из (2.4) путем подстановки = , при = 0

= ( ) + ( ) (2.5)

Любое динамическое звено в автоматике можно записать в виде типового воздействия.

а) регулярное воздействие, б) случайное, в) непрерывное, г) дискретное, д) ступенчатое, е) импульсное, ж) гармоническое, з) линейно возрастающее.

13

1.Ступенчатое воздействие - воздействие, которое мгновенно возрастает от 0 до некоторого значения и далее остается постоянным.

Ступенчатому воздействию соответствуют функции:

0, при < 0( ) = { 0, при ≥ 0

При 0 = 1 (единичное воздействие) – функция Хевисайда.

2.Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы, имеющий достаточно большую высоту и весьма малую продолжительность.

Единичное импульсное воздействие, которое описывается дельтафункцией (функцией Дирака):

0, при ≠ 0( ) = {∞, при = 0

Причем, ∫−∞∞ ( ) = 1

Дельта-функцию можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь.

Дельта-функция определяется как производная единичного скачка.

1( )( ) =

3. Гармоническое воздействие – сигнал синусоидальной формы.

( ) = (−∞ < 1 < ∞)

A – амплитуда сигнала

= 2 / – круговая частота, рад/с

Т– период сигнала, с.

4.Линейное воздействие

( ) = 1( ) 1 (0 ≤ < ∞)

а1 характеризует скорость нарастания воздействия x(t).

Переходные характеристики H(t) (кривые разгона).

Весовые (импульсные переходные) функции (t).

Частотные характеристики.

АФХ (АФЧХ) или частотная передаточная функция.

АЧХ

Фазо-частотная характеристика ФЧХ (ЛФЧХ)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ либо ЛАХ)

Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ/ЛФХ).

14

Переходные характеристики.

Переходная, или временная характеристика (функция) звена представляет собой реакцию на выходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия. Единичное ступенчатое воздействие (единичная ступенчатая функция) –

это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным. Сказанное иллюстрируется на рис.2.6,а и б. На рис. 2.6,б показаны три различных вида переходных характеристик, соответствующих различным типам звеньев.

y

Рис. 2.6. Переходные характеристики.

Таким образом, h(t) – это выражение для y(t) при x(t) = 1(t).

Наряду с переходной характеристикой применяется импульсная переходная (временная) характеристика или функция, называемая еще весовой функцией (функцией веса) – отклик на дельта-функцию (функцию Дирака). Эта характеристика представляет собой реакцию звена на единичный импульс.

Единичный импульс (единичная импульсная функция, или

дельта-функция) – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Единичный импульс – это импульс, площадь которого равна единице при длительности, равной нулю, и высоте, равной бесконечности. На рисунке б) он условно показан в виде утолщения на оси ординат.

x(t) = (t)

1

Рисунок б

15

Импульсная переходная функция w(t) равна производной от переходной функции h(t).

( )( ) =

И наоборот, переходная функция равна интегралу от импульсной переходной функции:

( ) = ∫ ( )

0

На рис. 2.7 изображены типичные формы самих импульсных переходных характеристик.

y

x (t)

t

0

Рис. 2.7. Импульсная переходная (весовая) характеристика.

Функции 1(t) и δ(t) можно использовать для экспериментального определения передаточной функции элемента системы управления:

физически не реализуема), измерим w*(t) ≈ w(t). Теперь можно вычислить L[w*(t)] = W*(s) ≈ W(s), т.е. ( ) = −1[( )] (2.6)

W(s)

Второй подход: На вход подаем 1(t). Измеряем h(t) и вычисляем передаточную функцию. W(s) = L[d/dt(h(t)].

В случае, когда x(t) = 1(t), учитывая, что L(1(t))=1/s, получаем выражение для изображения переходной характеристики:

16

( )

Соответственно переходная характеристика звена:

( ) = −1 [ ( )]

Выражение 2.6 можно трактовать как определение передаточной функции – изображение Лапласа весовой функции.

Зная переходную функцию можно определить реакцию звена и другим способом – с помощью интеграла Дюамеля (свертка).

0

где х(0) – значение х(t) при t = 0;

Эти формулы легко получаются друг из друга, являясь вариантами интеграла Дюамеля, или интеграла свертки.

Частотные характеристики.

Частотная характеристика – отношение реакции (отклика) звена y(t) к синусоидальному входному воздействию ( ) = . Реакция в этом случае так же будет представлять гармонический сигнал, но с другой амплитудой и фазовым сдвигом ( ) = sin( + ).

Рисунок 2.5 - реакция звена на гармоническое воздействие

Частотная характеристика w(j ) может быть определена по (2.5) На рисунке 2.8 в АФХ P(j ) – четная, Q(j ) – нечетная функция. АФЧХ W(j ) в показательной форме:

( ) = ( ) ( )

A(ω) – модуль АФХ, а φ( ) – угол сдвига по фазе. Алгебраическая форма:

( ) = ( ) + ( )

Тригонометрическая форма:

17

( ) = А( ) ( ) + ( ) sin ( )

Рисунок 2.8

Связь между различными частотными функциями:

( ) = |( )| = √2( ) + 2( )

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду.

Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты i и его десятикратным значением 10 i . Рассмотренные выше временные, передаточные и частотные характеристики однозначно связаны меду собой прямым и обратным преобразованиями Лапласа и Фурье. Это отражено в таблице.

18

Таблица - Взаимные соответствия динамических характеристик.

Типовые динамические звенья САУ и их характеристики.

a)

x(t) Элемент y(t)

б) x(t) W(s) y(t)

Рисунок 3.1 – а) элемент и б) динамическое звено САУ

В изображениях Лапласа (см. формулу 2.4) при обозначении s=p:

Передаточную функцию системы можно представить в виде произведения простых множителей и дробей.

; ; 1⁄ ; ± 1; 1⁄( ± 1)

2 2 ± 2 + 1; 1/( 2 2 ± 2 + 1) (3.2)

K – коэффициент передачи или коэффициент усиления,

Т – инерционность или постоянная времени инерционного звена,– коэффициент затухания (демпфирования)

Сомножители представляющие звенья: пропорциональные K, дифференцирующие - ± 1, апериодические первого порядка,

1⁄( ± 1), форсирующее первого порядка ± 1, интегрирующее -

1⁄ , форсирующее второго порядка - 2 2 ± 2 + 1, апериодическое

19