Защита информации
.pdf
1.Понятие энтропии и её свойства. Количество информации.
Пусть задан ансамбль {X, P(xi)}. X – множество;
P(xi) –распределение вероятностей на множестве;
I(xi) = - log P(xi) – количество информации в каждом элементе множества Х. |
|||
|
−∑ =1 |
P(xi)log P(xi) |
|
Математическое ожидание: |
|
||
H(X)= |
|
|
– энтропия – мера неопределенности в среднем. |
Энтропия – количество информации, которое мы должны получить, чтобы узнать, какое событие произошло в среднем при использовании данного ансамбля.
Свойства энтропии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) H(x)>=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Доказательство: H(X)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>=0, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>=0, кроме того P(x )>=0, отсюда следует, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как P(xi)<=1, то |
|
|
|
|
|
|
−∑ |
|
|
|
P(xi)log |
P(xi) |
|
∑ |
|
|
|
|
|
P(xi)log |
|
|
P(xii) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1xi) |
>=0. |
|
|
|
|
|
|
|
log |
P(1xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
H(X)<=logM, где М – мощность множества Х: M=|X| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
−∑ =1 P(xi)log P(xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|||||||||||||||||||||||
Доказательство: Известно, что ln r<= r-1, при этом ln r = r-1 когда r=1, отсюда: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H(X) – logM = |
−∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(xi)log M |
||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(xi)log P(xi) −∑ |
|
|
P(xi)log M |
|
∑ |
|
|
|
|
|
P(xi)log P(xi) + ∑ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ log |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
e ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
P(xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = log e (1-1) = 0, ч |
|||||||||||||||||||||||||
<= log e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = log e ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
P(xi)(log |
(xi |
M) |
|
=∑log |
|
P(xi)log |
|
M |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
P(xi)ln |
P(xi)M |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.д.; |
|
|
|
∑ =1 P(xi)(P(xi1)M |
− 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ =1 |
|
PP((xixi))M |
− ∑ =1 P(xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ =1 |
M1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
причем «=» при |
|
|
1 |
|
|
|
=1, P(xi) = 1/М, откуда следует, что Н(X) = logM, когда P(xi) = 1/М (то есть все |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xi |
равновероятныP,(тxi.)еM. мера неопределенности (энтропия) будет максимальна) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пояснения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(xi)log M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) logM = logM*1 = logM (P(x1) + P(x2) + ..) = P(x1) logM + .. = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) х = |
|
ln , log x = log |
|
е |
ln = ln x * log e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) Аддитивностье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Рассмотрим ансамбль {X, Y, P(xi , yj)} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Нужно выразить энтропию ансамбля через энтропию отдельных компонентов: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H(X,Y) = |
|
|
M |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∑i=1 ∑j=1 P(xi, yj)log P(xi, yj) |
−∑=i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
L |
∑j=1 P(xi, yj)log P(xi)P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= H(X) |
||||||||||
− |
∑i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(yj|xi)) |
|
− |
∑i=1 |
∑j=1 P(xi, yj)log P(xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑j=1 P(xi, yj)(log P(xi) + log |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= H(X) + |
||||||||||
− |
∑i=1 |
∑j=1 P(xi, yj)log P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H(X) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∑=i=1 P(xi) log P(xi) −∑i=1 ∑j=1 P(xi, yj)log P(yj|xi) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= H(X) + H(Y|X), при условии, что неопределенность ансамбля х снята |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−M∑i=1 ∑j=1 P(xi)P(yj|xi)log |
P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑i=1 P(xi){− |
∑ =1 P(yj|xi) log |
P(yj|xi)} |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H(X,Y)= H(X) + H(Y|X) = H(Y) + H(X|Y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑i=1 P(xi)H(Y|xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) Цепное свойство энтропии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
H(XYZ) = H(X,Y) + H(Z|XY) = H (X) + H (Y|X) + H(Z|XY) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) Условная энтропия H (Y|X) <= безусловной энтропии H(Y): H (Y|X) <= H(Y) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство: H (Y|X) - H(Y) = |
|
|
|
|
|
M |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∑j=1 P(yj) log P(yj) |
= |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∑i=1 ∑j=1 P(xi, yj)log P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M |
|
∑ |
L |
|
P(xi, yj)log P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
L |
|
P(xi, yj)log P(yj) |
|
|
|
|
∑ |
M |
|
∑ |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
logP(yj) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
i=1 |
j=1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= log e |
|
|
|
|
|
|
|
<= log e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(xi, yj) logP(yj|xi) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(yj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(yj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= log e [∑i=1 |
∑j=1 P(xi, yj) ln P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑i=1 ∑]j=1= P(xi, yj) [ P(yj|xi) − 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= log e [∑i=1M |
∑j=1L |
|
P(xi,yj) |
P(yj) |
− ∑i=1M ∑j=1L |
P(xi, yj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|
|
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M L |
|
P(yj|xi)P(xi) P(yj) |
|
|
|
|
|
|
M L |
|
|
|
|
|
|
|
]= log e [1-1]=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= log e [∑i=1 |
∑j=1 |
|
|
|
|
|
P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∑i=1 ∑j=1 P(xi, yj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
«=» |
|
будет тогда, когда |
|
|
|
|
|
|
|
= 1, P(y ) = P(y |x ), для всех i,j, если x и y – статистически независимы. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑i=1 |
∑j=1 P(xi) P(yj) − |
∑i=1 |
|
∑jj=1 P(xi,j |
yj)i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(yj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
H(XYZ) = H(X,Y) + |
|
|
|
|
P(yj|xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
H(Z|XY) = H (X) + H (Y|X) + H(Z|XY)
H(XYZ) <= H(X) + H(Y) + H(Z)
Количество информации:
Рассмотрим ансамбль {X,Y,P(xi , yj)} |
|
|
|
|
|
|
|||||
I(xi , yj)=log |
( | ) |
– количество информации, содержащейся в букве yj по букве xi |
|||||||||
если |
основание логарифма равно 2, то количество информации измеряется в битах, если в 10 – |
||||||||||
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хартли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства количества информации: |
|
|
|
|
|
|
|||||
1) Симметричность |
( | ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
I(xi , yj)=log |
( | ) |
= log |
= log |
( , ) ( ) |
= log |
( , ) |
= log |
( | ) |
= I (yj, xi) |
||
|
|
( ) |
|
( ) ( ) |
( ) ( ) ( ) |
|
( ) ( ) |
|
( ) |
||
(то есть одинаковое количество информации друг о друге)
количество( ( ) , ( ) ) информации – мера статистической связи между буквами xi и yj: log
2) Аддитивность
I(xi ; yj, zx)= log |
( | , ) |
= log |
( | , ) ( | ) |
= log |
( | ) + log |
( | , ) |
= I(xi , yj) + I(xi ; zx |yj) |
|||||||
( | , ) |
– |
|
( ) |
|
( ) ( | ) |
|
|
( ) |
|
( | ) |
|
|||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
i |
j |
|
||||
|
( | ) |
|
|
апостериорная вероятность; |
|
|
– априорная вероятность; |
|||||||
Если ( ) |
|
|
|
|
|
i j x |
i |
j |
|
i x |
|
|
|
|
log |
|
– количество взаимной информации между буквами x и y |
|
|||||||||||
Y и Z – независимы, то I(x ; y , z )= I(x , y ) + I(x , z )
(на всякий случай) Информационная энтропия — мера неопределённости или непредсказуемости информации. Это количество информации, приходящейся на одно элементарное сообщение источника, вырабатывающего статистически независимые сообщения.
В компьютерной индустрии обычно оценивают сложность пароля в терминах "Информационная энтропия" , измеряемой в битах. Вместо количества попыток, необходимых, чтобы точно угадать пароль, берется логарифм по основанию 2 от этого числа и называется количеством «битов энтропии» в пароле. Пароль со, скажем, 42-битной сложностью, посчитанной таким путем, будет соответствовать случайно
сгенерированному паролю длиной в 42 бита. Другими словами, чтобы взломать пароль с 42-битной сложностью, необходимо произвести 2<SUP>42</SUP> попыток, исчерпав все возможные варианты методом полного перебора. Таким образом, добавление одного бита энтропии к паролю удваивает количество необходимых догадок, что делает задачу атакующего в два раза сложнее. В среднем, атакующий должен будет проверить половину из всех возможных вариантов пароля, до того как найдет правильный.
2.Субъектно-объектная модель компьютерной системы. Основные понятия.
В теории компьютерной безопасности осуществляется декомпозиция элементов компьютерной системы на пассивные и активные элементы.
Пассивные элементы компьютерной системы называются объектами. Например, оперативная память, диски, файлы, процессор и т.п.
В защищенных компьютерных системах объекты связаны с хранением, обработкой, вводом и выводом информации, должны обладать следующими свойствами
-конфиденциальности
-целостности
-доступности.
Множество объектов компьютерной системы обозначается следующим образом
O=[oj], 1,…n, где oj - j-й объект компьютерной системы, n – количество объектов компьютерной системы.
Активные компоненты компьютерной системы называются субъектами. Причем в теории компьютерной безопасности пользователи компьютерной системы не рассматриваются как ее субъекты. С пользователем связывается одно или несколько приложений, которые он может запускать на выполнение. Приложение рассматривается ОС как процесс, которому необходимо обеспечить доступ к нескольким объектам (например, процессору, оперативной памяти, возможно к определенному файлу или устройству ввода-вывода). Процессы, в свою очередь, порождают потоки, которые представляют собой последовательность выполняемых команд.
Множество субъектов компьютерной системы обозначается следующим образом:
S=[si], 1, …m , где si - i-й субъект компьютерной системы, m – количество субъектов компьютерной системы.
Отношения между объектами и объектами определяются множеством операций, которые субъекты могут выполнять над объектами. Это множество обозначается следующим образом:
R=[rg], g = 1, …k, где rg - g-я операция, которую субъект может выполнить над объектом , k – количество таких операций.
Следовательно, формально компьютерную систему можно описать тройкой
Компьютерная система = < O, S, К >
Рассмотрим основные аксиомы теории компьютерной безопасности.
Аксиома 1. Субъекты в компьютерной системе могут быть порождены только активными компонентами (субъектами) из объектов.
Операция порождения субъекта sj из объекта oj при активизирующим воздействии субъекта si называется операцией порождения субъекта и обозначается следующим образом
Create(si, oj) → sj
Аксиома 2. В компьютерной системе потоки информации существуют только от объекта к объекту при инициализации потоков субъектом.
Определение. Потоком информации между объектом oi и субъектом oj называется произвольная операция над объектом oj, реализуемая в субъекте si и зависящая от oi. Потоки обозначаются следующим образом
Stream ( si, oi ) → oj
Определение. Объект oi называется ассоциированным объектом субъекта si в момент времени t, если субъект si использует информацию, содержащуюся в объекте oi в моментвремени t+1.
В теории компьютерной безопасности различают два типа ассоциированных объектов - функционально ассоциированные объекты и объекты данные.
Вкомпьютерной системе могут существовать потоки следующих видов
1)Поток типа read
Stream (si, oj ) → oi
2) Поток типа write
Stream (si, oi) → oj |
|
|
3) |
Поток создания объекта |
|
Stream (si, oi) → oj |
(oj = null ) |
|
4) |
Поток уничтожения объекта |
|
Stream (si, oi) → oj |
(oi = null ) |
|
Потоки являются основной единицей вычислений и единственным активными компонентами компьютерной системы. Здесь же следует отметить, что
-пользователь воспринимает объекты и получает информацию о состоянии компьютерной системы через субъекты, которыми он управляет, и которые производят отображение информации в воспринимаемом человеком виде,
-угрозы объектам компьютерной системы исходят от субъектов как активной компоненты, которая порождает потоки и изменяет состояние объектов,
-субъекты могут влиять друг на друга только через изменяемые ими объекты; в результате в компьютерной системе могут быть порождены субъекты (или состояния системы), которые представляют угрозу для безопасности критичной информации или работоспособности самой системы,
-в защищенной компьютерной системе должна быть обеспечена конфиденциальность, целостность и недоступность субъектов, связанных с критичной информацией,
-любой поток в компьютерной системе протекает во времени, т.е. имеет временные характеристики. Определение. Доступом субъекта si к объекту oj называется порождение потока информации между
ассоциированным объектом oi субъекта si и объектом oj.
Аксиома 3. Отображениями Stream и Create описываются все события (изменения объектов и субъектов), происходящие в компьютерной системе.
Аксиома 4. Все вопросы безопасности критичной информации в компьютерной системе описываются доступом субъектов к объектам.
Аксиома 5. В защищенной компьютерной системе всегда должна присутствовать активная компонента (субъект), выполняющая контроль операций (потоков) субъектов над объектами. Аксиома 6. Для выполнения в защищенной компьютерной системе операций над объектами необходим объект, содержащий информацию о запрещенных и разрешенных операций субъектов над объектами.
3.Механизм идентификации и аутентификации пользователей компьютерной системы.
Идентификация – это процесс составления списка присвоенных субъектам идентификаторов и проверки соответствия, предъявленных субъектами идентификаторов этому списку. Аутентификация - это процесс проверки подлинности идентификаторов, предъявляемых субъектами.
При аутентификации используются следующие методы:
метод парольной защиты, когда в качестве аутентификатора используется пароль
биометрические методы защиты, когда в качестве аутентификатора используются данные о сетчатке глаза, отпечатков пальцев и др.
метод, основанный на использовании интеллектуальных карт.
При реализации механизма идентификации и аутентификации в памяти компьютерной системы должен существовать объект, который хранит идентифицирующие и аутентифицирующие данные о легальных пользователях. Этот объект называется аутентифицирующим объектом.
Структура аутентифицирующего объекта (1-й вариант)
Идентифицирующие данные |
Аутентифицирующие данные |
ИМЯ1 |
Пароль1 |
… |
… |
ИМЯ i |
ПАРОЛЬ i |
… |
… |
ИМЯ m |
ПАРОЛЬ m |
Имяi – идентифицирующие данные i-о легального пользователя, которые хранятся в аутентифицирующем объекте в течение всего времени существования данного пользователя. Парольi – аутентифицирующие данные i-о легального пользователя, которые могут изменяться в течении времени существования i-о легального пользователя. Например, при принудительной смене пароля.
Обычно Парольi – это последовательность букв, цифр или других символов, позволяющих пользователю подтвердить свою подлинность. В некоторых системах пользователь Имяi может иметь несколько паролей.
Квыбору пароля предъявляются следующие требования:
ограничение минимальной длины вводимого пользователем пароля,
наличие в пароле обязательного минимального количества букв нижнего и верхнего регистров и специальных символов,
запрещение использования пользователями собственных паролей (пароль пользователя
задаётся программой).
При создании механизма идентификации и аутентификации необходимо: 1).Заполнить аутентифицирующий объект оаут.
Для его заполнения должен быть создан идентифицирующий субъект sиден. В простейшем варианте – программа заполнения матрицы, имеющей два столбца и количество строк, равное количеству легальных пользователей.
2).Разработать аутентифицирующий субъект sаут.
Программу, проверяющую соответствие предъявленных субъектом (пользователем) идентифицирующих (Имяuser) и аутентифицирующих (Парольuser) данных аутентифицирующему
объекту оаут.
Математическое описание простейшего алгоритма аутентифицирующего субъекта: 1).Пользователь вводит идентификатор Имяuser.
2). Аутентифицирующим субъектом sаут выполняется проверка равенства:
Имяuser = Имяi (i = 1,2,…,m)
Если Имяuser = Имяi, то считается, что пользователь успешно прошел процедуру идентификации, в противном случае пользователь считается нелегальным и не допускается к взаимодействию с компьютерной системой.
3).Аутентифицирующий субъект запрашивает у пользователя Имяuser аутентификатор – Парольuser. 4). Аутентифицирующим субъектом sаут проверяется равенство:
Парольuser = Парольi (i = 1,2,…,m)
Если, Парольuser = Парольi то считается, что пользователь успешно прошел процедуру аутентификации и является легальным пользователем системы, в противном случае пользователь считается нелегальным и не допускается к взаимодействию с компьютерной системой.
В ТОКБ аутентифицирующий объект называется эталоном.
4.Механизм авторизации.
Механизм авторизации решает три основные задачи:
1.Выполнение политики разграничения доступа субъектов к объектам компьютерной системы. 2.Гарантирование выполнения политики разграничения доступа субъектов к объектам компьютерной системы.
3.Управление разграничением доступа субъектов к объектам компьютерной системы.
Доступом субъекта к объекту называется порождение потока информации между ассоциированным объектом Оi субъекта Si и объектом Ok.
Пусть Р множество потоков информации, существующих в компьютерной системе в течение заданного промежутка времени. Это множество можно представить в виде двух непересекающихся подмножеств:
Р1– подмножество потоков, относящихся к легальному доступу, Р2– подмножество потоков, относящихся к несанкционированному доступу.
Р = Р1U Р2
МБО (Монитор безопасности объектов) – субъект, активизирующийся при возникновении потока от ассоциированного объекта субъекта к любому объекту и разрешающий поток, который принадлежит подмножеству потоков легального доступа Р1.
Разграничение доступа субъектов к объектам компьютерной системы в МБО осуществляется в соответствии с политикой разграничения доступа.
В политике разграничения доступа описывается математическая модель, в соответствии с которой будет выполняться доступ субъектов к объектам КС.
Формальные модели
-дискреционные модели разграничения доступа,
-мандатные модели разграничения доступа.
Неформальные модели
-ролевая модель разграничения доступа.
Формальная модель Xappисона-Руззо-Ульмана - это классическая дискреционная модель, которая реализует произвольное управление доступом субъектов к объектам и осуществляет контроль за распределением прав доступа.
модель Х.-Р.-У. выполняет следующие функции:
-назначение и удаление прав доступа субъектов к объектам в матрице доступа.
-создание и удаление субъектов из матрицы доступа
-создание и удаление объектов из матрицы доступа
-контроль за распределением прав доступа.
В модели рассматриваются:
1.Конечное множество объектов компьютерной системы O=[oj], 1,…,n. 2.Конечное множество субъектов компьютерной системы S=[si], 1,…,m. Считается, что все субъекты системы одновременно являются и ее объектами: 3.Конечное множество прав доступаR=[rg], 1,…,k.
4.Матрица прав доступа, содержащая права доступа субъектов к объектам A=[aij 5.Конечное множество команд
С=[ cz(аргументы)], z=1,…,l, аргументами команд служат идентификаторы объектов и субъектов. Каждая команда включает условия выполнения команды и элементарные операции, которые могут быть выполнены над субъектами и объектами компьютерной системы, и имеет следующую структуру:
Commandcz (аргументы)
Условия выполнения команды Элементарные операции
End
Критерий безопасности
Начальное состояние системы считается безопасным относительно права доступа rg, если не существует применимой к Q0 последовательности команд, в результате выполнения которых право доступа rg будет приобретено субъектом sx для объекта oy, если это право не принадлежит подмножеству axy в состоянии Q0. Следовательно, субъект sxне приобретёт право доступа rgк объекту oy, если субъект sx не имел этого права при определении начального состояния Q0.
Мандатная модель Белла – ЛаПадулы основана на правилах секретного документооборота, которые приняты в государственных и правительственных учреждениях большинства стран.
Согласно этим правилам всем участникам процесса обработки критичной информации и документам, в которых она содержится, присваивается специальная метка, которая называется уровнем безопасности.
В формальной модели Белла – ЛаПадулы рассматриваются: 1.Конечное множество объектов компьютерной системы O=[oj], 1,…,n.
2.Конечное множество субъектов компьютерной системы S=[si], 1,…,m, считается, что все субъекты системы одновременно являются и ее объектами (S O).
3.Права доступа readи write
4.Матрица прав доступа, содержащая права доступа субъектов к объектам A=[aij], 5.Множество запросов на выполнение потоков типа readили writeR=[rg], 1,…,k.
6.Функция уровня безопасности F, которая ставит в соответствие каждому объекту и субъекту системы определенный уровень безопасности, принадлежащий множеству уровней безопасности D, на котором определена решетка.
7.Функция перехода T, которая при выполнении запроса на запись или чтение, переводит систему из состояния Q в состояние Q'.
Следует отметить, что в мандатных моделях контролируются не операции, которые выполняются субъектами над объектами, а потоки информации:
Stream(si, oi) oj (поток типа запись ) Stream(si, oj) oi (поток типа чтение).
Для формального описания модели Белла-ЛаПадулы используется решетка уровней безопасности. Решетка уровней безопасности – это формальная алгебра, использование которой позволяет упорядочить потоки информации в компьютерной системе.
Решетка уровней безопасности представляется: -множеством уровней безопасности - D; -оператором отношения порядка - ;
-оператором нахождения наименьшей верхней границы двух элементов множества D;
-оператором нахождения наибольшей нижней границы двух элементов множества D.
Смысл этих операций заключается в том, что для каждой пары элементов множества D всегда можно указать единственный элемент, ограничивающий ее сверху или снизу таким образом, что между ними и этим элементом не будет других элементов.
Вывод: мандатная модель управляет доступом неявным образом – с помощью назначения всем сущностям системы уровней безопасности, которые определяют все допустимые взаимодействия между ними. Критерий безопасности системы формулируется следующим образом
Система ( Q0, R, T ) безопасна тогда и только тогда, когда ее начальное состояние Q0 безопасно и все состояния, достижимые из Q0 в результате применения конечной последовательности запросов из R безопасны.
В ролевой политике безопасности классическое понятие субъекта заменяется понятиями пользователь и роль. Пользователь – это человек, работающий с системой и выполняющий определенные служебные обязанности, а с понятием роли связывается набор полномочий, необходимых для выполнения этих служебных обязанностей.
При использовании ролевой политики безопасности управление доступом осуществляется в две стадии: каждому пользователю назначается список доступных эму ролей, для каждой роли указывается набор полномочий, представляющий набор прав доступа к
объектам.
Причем полномочия назначаются ролям в соответствии с принципом наименьших привилегий, из которого следует, что каждый пользователь должен обладать только минимально необходимым для выполнения своей роли набором полномочий.
В модели ролевой политики безопасности используются следующие множества:
U– множество пользователей;
R– множество ролей; Р – множество полномочий на доступ к объектам компьютерной системы, представленное, например,
ввиде матрицы доступа;
S– множество сеансов работы пользователей с системой.
Правила управления доступом ролевой политики безопасности определяются следующими функциями:
User: |
S U |
– |
эта |
функция |
для |
каждого |
сеанса |
S |
определяет |
пользователя, который осуществляет этот сеанс работы с системой: User( s) = u U, |
|
|
|||||||
Roles: S P( R ) – эта функция для каждого сеанса s определяет набор ролей из множества R, которые
могут быть одновременно доступны пользователю в этом сеансе:
Roles: ( s ) = ri ( user( s), ri ) UA
Permission: S P – эта функция для каждого сеанса задает набор доступных в нем полномочий, который определяется как совокупность полномочий всех ролей, задействованных в этом сеансе:
Permission ( s ) = Ur roles( s) pi ( pi, r) RA
Критерий безопасности ролевой модели определяется следующим правилом:
Система считается безопасной, если любой пользователь системы, работающий в сеансе s, может выполнять действия, требующие полномочия p, только в том случае, если p Permission( s ).
5.Дискреционная модель Харрисона-Руззо-Ульмана.
Формальная модель Xappисона- Руззо-Ульмана - это классическая дискреционная модель, которая реализует произвольное управление доступом субъектов к объектам и осуществляет контроль за распределением прав доступа.
МБО (Монитор безопасности объектов – субъект, активизирующийся при возникновении потока от ассоциированного объекта субъекта к любому объекту и разрешающий поток, который принадлежит подмножеству потоков легального доступа Р1), в основу кот. Положена модель Х.-Р.-У. выполняет следующие функции:
-назначение и удаление прав доступа субъектов к объектам в матрице доступа.
-создание и удаление субъектов из матрицы доступа
-создание и удаление объектов из матрицы доступа
-контроль за распределением прав доступа.
В модели рассматриваются:
1.Конечное множество объектов компьютерной системы O=[oj], 1,…,n. 2.Конечное множество субъектов компьютерной системы S=[si], 1,…,m. Считается, что все субъекты системы одновременно являются и ее объектами:
S O , (S является подмножеством O). 3.Конечное множество прав доступа R=[rg], 1,…,k.
4.Матрица прав доступа, содержащая права доступа субъектов к объектам A=[aij], i=1,…,m, j=1,…,n+m, каждый элемент матрицы aij содержит права доступа субъекта si к объекту oj. Причем
элемент матрицы aij рассматривается как подмножество множества R. aij R (R содержит aij ) 5.Конечное множество команд
С=[ cz (аргументы)], z=1,…,l, аргументами команд служат идентификаторы объектов и субъектов. Каждая команда включает условия выполнения команды и элементарные операции, которые могут быть выполнены над субъектами и объектами компьютерной системы, и имеет следующую структуру:
Command cz (аргументы)
Условия выполнения команды Элементарные операции
End
Поведение системы моделируется с помощью понятия состояние. Состояние системы определяется:
•конечным множеством субъектов (S),
•конечным множеством объектов (O), считается, что все субъекты системы одновременно являются и ее объектами (S O),
•матрицей прав доступа (A)
иописывается тройкой Q( S, O, A ).
Если система находится в состоянии Q, то выполнение элементарной операции переводит её в некоторое другое состояние Q', которое отличается от предыдущего состояния хотя бы одним компонентом.
1.Добавление субъекту sx права rg для объекта oy. Enter rg into axy
2.Удаление у субъекта sx права rg для объекта oy. Delete rg from axy
3.Создание нового субъекта sx. Create subject sx
При выполнении этой операции изменяются следующие состояния системы:
- к множеству объектов системы добавляется новый объект ox, поскольку субъекты системы одновременно являются и её объектами:
O' = O U {sx} или O' = O U {ox}
- к множеству субъектов системы добавляется новый субъект
S' = S U {sx}
- множество прав доступа субъекта sx к объектам системы, включая объект ox, становится пустым (права доступа субъекта sx к объектам системы неопределенны):
a'ij = ø, если i = x и j = 1,…,m+n.