1.2. Законы Кирхгофа

Ранее были рассмотрены законы Ома для участка цепи и замкнутой цепи с одним источников э.д.с.

Сложная электрическая цепь, содержащая несколько источников э.д.с. и замкнутых контуров, не может быть рассчитана только с использованием законов Ома. Рассчитать и проанализировать сложную цепь можно с помощью двух законов Кирхгофа (сам Кирхгоф и некоторые современные специалисты называют эти законы «правилами», поскольку они являются следствием закона сохранения энергии применительно к электрическим цепям).

Для понимания формулировок и использования этих законов необходимо напомнить основные термины, относящиеся к электрическим цепям.

Электрическая цепь – это совокупность элементов, создающих пути для протекания электрических токов. Основными элементами электрической цепи являютсяисточники электроэнергии, преобразующие механическую, химическую и другие виды энергии в электрическую, иприемники, преобразующие электрическую энергию в другие виды: тепловую (резисторы), механическую (электродвигатели), химическую (зарядка аккумуляторов) и др. Кроме источников и приемников, элементами электрической цепи являются соединительные провода, электроизмерительные приборы, коммутирующие (переключающие) устройства, аппаратура защиты, автоматики и др.

Электрический узел – это часть электрической цепи, в которой сходится не менее трех ветвей (токов).

Ветвь–участок цепи между двумя узлами, на всем протяжении которого ток один и тот же.

Контур–замкнутая часть схемы, которая представляет собой неразветвленную цепь, если отключить все не входящие в нее ветви.

Первый закон Кирхгофа

На рисунке 5 показан электрический узел, в котором сходятся n= 5 ветвей с токами, часть из которых направлены к узлу, а часть – от него.

Первый закон Кирхгофав первой редакции читается следующим образом:алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, то есть

(8)

.

Вуравнении (8) токи, направленные к узлу, подставляют обычно со знаком «+», а от узла – со знаком «» (можно и наоборот).

Применительно к узлу, показанному на рисунке 5, равенство (8) записывается в свернутом виде:

или в развернутом:

.

Е

(9)

сли перенести в последнем равенстве отрицательные токи в правую часть, то получим:

.

Из равенства (9) вытекает вторая редакция первого закона Кирхгофа:

Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла.

Справедливость первого закона Кирхгофа можно подтвердить рассуждением «от противного». Если предположить, что в узел в каждый момент времени притекает больше зарядов, чем вытекает (или наоборот), то электрические потенциалы узлов все время будут изменяться, а, следовательно, будет изменяться и распределение токов в элементах схемы, что практически не наблюдается и противоречит здравому смыслу.

Второй закон Кирхгофа

На рисунке 6 показана часть сложной электрической цепи в виде замкнутого контура, состоящего из m= 5 ветвей и содержащегоn= 3 источников э.д.с.

Второй закон Кирхгофачитается следующим образом:в замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма напряжений равна нулю (первая редакция).

В этой формулировке следует различать напряжение как падение напряжения, создаваемое током I_k k-той ветви в сопротивлении R_k этой ветви, и напряжение источника ЭДС, которое равно величине этой ЭДС, но направлено (как разность электрических потенциалов внутри источника) от положительного зажима к отрицательному, то есть встречно с направлением ЭДС.

В показанном на рисунке 6 контуре токи ветвей создают падения напряженияI_kR_k, которые при заданном направлении обхода берутся со знаком «+», если направление токаI_kсовпадает с направлением обхода, и со знаком «», если направление тока встречно с направлением обхода. Что касается напряжений (разностей потенциалов) на зажимах источников ЭДС Е_k, то необходимо учитывать, что потенциал на положительном зажиме источника выше, чем на входном, а величина этихнапряжений(а непадений напряжений!) равна по абсолютному значению соответствующей э.д.с. Е_k. С учетом этогонапряжение источникаберется со знаком «», если направление э.д.с. совпадает с направлением обхода, и со знаком «+», если направление обхода направлено встречно с направлением э.д.с.

Рис. 6

П

(10)

рименительно к контуру (рис. 6), согласно приведенной выше формулировке второго закона Кирхгофа, можно записать:

П

(10а)

еренесем напряжения источников э.д.с. в правую часть равенства (10):

В правой части равенства (10а) оказалась алгебраическая сумма э.д.с., а не напряжений источников. В результате получается вторая редакция второго закона Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях, образующих этот замкнутый контур, то есть:

(11)

Применительно к контуру (рс. 6) равенство (11) примет вид

(11а)

В такой формулировке, где напряжения источников заменены на э.д.с. источников, при обходе контура э.д.с. берется со знаком «+», если она совпадает с направлением обхода, и со знаком «-», если она действует встречно (как это следует из равенства (10а)).

Вторая формулировка закона Кирхгофа (10а) и (11) получила наибольшее применение на практике по сравнению с первой (10).