2.Виды многочленов

а) неприводимый простой многочлен.

Многочлен P(x) степени n называется простым, если он не делится без остатка ни на какой многочлен степени меньшей, чем n (аналогия с простым числом).

n=4: x⁴+x+1; x⁴+x³+1

n=5: x⁵+1=(x+1)(x⁴+x³+x²+x+1)  составной (непростой)

n=10: x¹⁰+x³+1; x¹⁰+x⁷+1 и т.д.

б) примитивный многочлен.

Примитивным называется многочлен P(x) степени m, имеющий максимально возможное число остатков от деления xⁱ/P(x)- 2^m-1, где i = 0,1…..

Пример. P(x)=x⁴+x³+x²+x+1 – непримитивный

P(x)=x⁴+x+1 – примитивный

i	R(x) - остаток при xi/P1(x)	R(x) - остаток при xi/P2(x)
<0 1 2 3 4	<0001 0010 0100 R=1 1000 1111	0001 0010 0100 1000 0011
5 6 7 8	0001 0010 0100 1000 R>1	0110 1100 1011 0101
9 10 11 12	1111 0001 0010 0100	1010 0111 1110 1111
13 14 15 16	1000 1111 0001 0010	1101 1001 0001 0010
17 18 19 20	0100 1000 1111  0001	0100 1000 0011 0110

3. Двойственные полиномы

P*(x) – полином двойственный P(x)

P*(x)=x^mP(1/x), где m – степень P(x).

Пример:

P(x)=x⁴+x+1

P*(x)=x⁴P(1/x)=x⁴(1/x⁴+1/x+1)=x⁴+x³+1.

Свойства двойственности:

а) Полином двойственный неприводимому полиному является также неприводимым;

б) Полином двойственный примитивному является также примитивным. P(x)= x⁴+x³+1.

Восьмеричное представление двоичных многочленов

Для удобства и компактности записи двоичные многочлены представлены в восьмеричном виде: x⁸+x+1  100 000 011  403

4 0 3

726  111 010 110  x⁸+x⁷+x⁶+x⁴+x²+x+1

Используя представление двоичных кодов в виде полиномов, дадим следующее определение циклического кода.

Циклический код образуется путем умножения информационного k-значного кода, выраженного в виде полинома Q(x) степени k-1, на некоторый образующий полином G(x) степени (n-k = r).

Q(x)=1010(x³+x); G(x)=(x³+x+1); E(x)=(x⁶+x³+x²+x).

1. Отсюда, основное свойство циклического кода: многочлен E, выражающий разрешенную кодовую комбинацию циклического кода, будет делиться на образующий многочлен без остатка.

2. С другой стороны: ни один многочлен, соответствующий запрещенной кодовой комбинации, на образующий многочлен G(x) без остатка не делится. То есть остаток – это проверочный синдром.

Это основное свойство позволяет определить наличие ошибки в кодовой комбинации.

Отсюда следующее:

1. Процедура кодирования состоит в умножении кодовой комбинации из информационных символов на образующий многочлен g(X).

2. Процедура декодирования состоит в делении принятой кодовой комбинации, выраженной в e(X) на образующий полином g(X) и определения остатка r(X).

Если R(x)=0 – нет ошибки,

Если R(x)0 – есть ошибка, и ее надо определить по виду R(x).