3.3. Предельные теоремы теории вероятностей

Говорят, что последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения при(обозначается ), если в каждой точке непрерывности предельной функции распределения.

Доказательство слабой сходимости распределений часто основывается на теоремах непрерывности.

Теорема непрерывности для производящих функций

Пусть - последовательность законов распределений целочисленных случайных величинX_n с производящими функциями p_n(z). Для сходимости последовательности законов распределения к закону распределения прии каждом конечномk

необходимо и достаточно, чтобы последовательность производящих функций на полуинтервале сходилась прии любом0 s<1 к предельной функции :

.

При этом является производящей функцией на полуинтервале предельного закона распределения:

Теорема непрерывности для характеристических функций

Последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределениятогда и только тогда, когда последовательность их характеристических функцийсходится прик непрерывной предельной функции. При этоместь характеристическая функция предельной функциии сходимость к равномерная на любом конечном интервале.

Пусть - последовательность независимых случайных величин. Теоремы, которые устанавливают нормальность предельного закона распределения суммы независимых случайных величинназываютсяцентральными предельными теоремами (ЦПТ).

Цпт для независимых, одинаково распределенных случайных величин.

Пусть - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии .

Тогда при для любого

,

или, что эквивалентно, функция распределения центрированной и нормированной суммы слабо сходится к функции распределения стандартного нормального закона распределения .

Цпт для независимых, разнораспределенных случайных величин

Теорема Линдеберга

Пусть - последовательность независимых, разно-распределенных случайных величин, имеющих конечные математические ожиданияи дисперсии . Обозначим,и. Тогда, если выполняется условие Линдеберга:

для любого ,

то функция распределения центрированной и нормированной суммы слабо сходится к функции распределениястандартного нормального закона:.

Из условия Линдеберга следует, что

,

то есть в сумме относительный вклад каждого слагаемого дисперсии равномерно бесконечно мал. В частности, из условия Линдеберга вытекает условие асимптотической малости последовательности случайных величин:

.

Условие Линдеберга является достаточным (но не необходимым) условием справедливости ЦПТ для последовательности независимых случайных величин с конечными дисперсиями. Если же для такой последовательности выполняется условие асимптотической малости и при, то условие Линдеберга оказывается и необходимым для справедливости ЦПТ.

Из теоремы Линдеберга выводятся многие другие варианты ЦПТ, в частности, следующая теорема.

Теорема Ляпунова.

Пусть - последовательность независимых, разно-распределенных случайных величин, имеющих конечные математические ожидания, дисперсии и центральные абсолютные моменты порядка при некотором и любом. Обозначим,. Тогда, при выполнении условия

функция распределения центрированной и нормированной суммы слабо сходится к функции распределениястандартного нормального закона:.

Пример 1. Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром . Показать, что предельным законом распределения стандартизованной случайной величины приявляется нормальный закон.

Решение. Характеристическая функция пуассоновской случайной величины с параметром имеет вид: . Величина линейно выражается через : , поэтому по свойствам характеристических функций

Разложим экспоненту в показателе степени второй экспоненты в ряд Тейлора по степеням с точность до членов второго порядка малости:

.

Подставляя это разложение в выражение для , получим

,

что соответствует виду характеристической функции стандартного нормального закона распределения. Так как характеристическая функция однозначно определяет закон распределения, то отсюда следует утверждение, сформулированное в примере.

Замечание. Из примера 1 вытекает, что при достаточно больших значениях можно пуассоновское распределение приближенно аппроксимировать нормальным.

Пример 2. Случайная величина Х_n имеет распределение χ²(n), то есть ее плотность вероятностей имеет вид:

Показать, что случайная величинаприраспределена по нормальному закону распределения.

Решение. По смыслу распределения χ²(n) (см. задачу 2.3.53) случайная величина , гдеZ_k – независимые, нормально распределенные случайные величины, . Поскольку случайные величиныZ_k независимы, то и случайные величины независимы и одинаково распределены,. Кроме того, в соответствии с выражениями для моментов гауссовской случайной величины (см. задачу 2.1.75) для каждой из случайных величинимеем:

Таким образом, для последовательности случайных величин выполняются все условия ЦПТ. Поэтому случайная величина

имеет при нормальный закон распределения.

Замечание. Результат примера 2 позволяет при больших n (практически при n30) приближенно находить квантили распределения χ²(n) через квантили нормального распределения.

Задачи

3.3.1. Дисперсия каждой из 4500 независимых, одинаково распределенных случайных величин равна 5. Найти вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится от своего математического ожидания не более чем на 0,04.

3.3.2. Случайная величина Х является средним арифметическим 3200 независимых и одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 2. Найти вероятность того, что Х примет значение в промежутке (2,95; 3,075).

3.3.3. Случайная величина Х является средним арифметическим независимых и одинаково распределенных случайных величин, дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько нужно взять таких величин, чтобы случайная величина Х с вероятностью, не меньшей 0,9973, имела отклонение от своего математического ожидания, не превосходящее 0,01?

3.3.4. Случайная величина Х является средним арифметическим 10000 независимых, одинаково распределенных случайных величин, среднее квадратическое отклонение каждой из которых равно 2. Какое максимальное отклонение  величины Х от ее математического ожидания можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9544?

3.3.5. Игральная кость бросается 1000 раз. Найти пределы, симметричные относительно математического ожидания, в которых с вероятностью, большей 0,99, будет находиться число выпавших очков.

3.3.6. Складывается чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10^-m. Предполагается, что ошибки от округления независимы и равномерно распределены в интервале (). Найти пределы, симметричные относительно математического ожидания, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет находиться суммарная ошибка. Проанализировать ответ при

3.3.7. Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,5; в девятку – с вероятностью 0,3; в восьмёрку – с вероятностью 0,1; в семерку – с вероятностью 0,05; в шестёрку – с вероятностью 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал: а) более 915 очков; б) более 950 очков?

3.3.8. Дана последовательность независимых случайных величин . ВеличинаX_n может принимать значения  n^ с вероятностями , либо значение 0 с вероятностью(0<<1). Доказать, что к сумме применима теорема Ляпунова.

3.3.9. Дана последовательность независимых случайных величин такая, что

.

Доказать, что а) к этой последовательности применима теорема Ляпунова, если ;б) применим закон больших чисел, если ,и неприменим, если .

3.3.10. Случайная величина Х_n имеет гамма-распределение Г(n,) с параметрами n>0 и >0, т.е. имеет плотность вероятностей вида:

и , .

Доказать, что закон распределения случайной величины схо-

дится при n и фиксированном  к нормальному закону распределения .

3.3.11. Используя производящие функции, показать, что при биномиальный закон распределения сходится к пуассоновскому закону с параметром.

3.3.12. Используя характеристические функции, показать, что при

.

3.3.13. Пусть - последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин. Доказать, что соотношениепри некоторой постояннойС выполняется тогда и только тогда, когда характеристическая функция случайной величины X_k дифференцируема в точке t=0.

3.3.14. Дана последовательность независимых случайных величин {X_k}, k1, распределенных по нормальному закону с параметрами . Найти предельный закон распределения суммыпри, если ряда) сходится; б) расходится.

3.3.15. Установить, выполняются ли закон больших чисел и центральная предельная теорема для последовательности независимых случайных величин {X_k}, k1 со следующими законами распределения:

а) ;

б) ; ;

в) ; .

3.3.16. Доказать утверждение: если последовательность функций распределения сходится на всей числовой прямой к непрерывной функции распределения, то эта сходимость равномерная.

3.3.17. Пусть V – область m-мерного пространства, имеющая единичный объём, а - ограниченная функция, определённая всюду в областиV. Метод Монте-Карло вычисления интеграла

состоит в следующем: в область V бросают наудачу независимо одна от другой n точек равномерно распределенных в областиV, и за приближённое значение интеграла принимают сумму

.

Чему равно ? Оценить. Найти приn предельный закон распределения для величины

3.3.18. Вычисление интеграла произведено методом Монте-Карло на основании 1000 независимых опытов. Вычислить вероятность того, что абсолютная погрешность в определении величины I не превзойдёт 0,01.

3.3.19. Сколько опытов надо произвести при вычислении методом Монте-Карло интеграла

для того, чтобы с вероятностью р 0,99 можно было считать абсолютную погрешность вычисленного значения интеграла не превосходящей 0,1% от I?

3.3.20. На улице стоит человек и продаёт газеты. Предположим, что каждый из проходящих мимо людей с вероятностью 1/3 покупает газету. Пусть Х означает число людей, прошедших мимо продавца за время, пока он продавал первые 100 экземпляров газеты. Найти приближенный закон распределения Х.

3.3.21. Независимые случайные величины Х₁, Х₂,…X_n,… имеют одинаковые распределения с и. Показать, что величины

и

имеют при n нормальный закон распределения N(0, 1).

3.3.22. Пусть Х₁, Х₂,…X_n,… - независимые, нормально распределённые случайные величины. Положим

и .

Найти предельные при n законы распределения случайных величин и.

171