3.2. Производящие и характеристические функции

Пусть X – целочисленная, неотрицательная случайная величина с законом распределения вероятностей:

, k=0,1,2,… .

Производящей функцией случайной величины X называется неслучайная функция , определяемая приравенством:

.

Производящая функция является аналитической внутри единичного кругаи по ней закон распределения случайной величиныXоднозначно определяется равенствами:

, где ,k0.

Величину MX(X-1)…(X-k+1)называютk-ым факториальным моментом. Если конеченk-ый факториальный момент, то существует левосторонняя производнаяи

.

В частности,

, .

Производящая функция суммынезависимых случайных величин равна произведению производящих функций слагаемых:

.

Характеристической функцией случайной величиныХназывается комплекснозначная неслучайная функциявещественного аргументаt, определяемая равенством:

.

Для дискретной случайной величины Х, принимающей значенияс вероятностямиp_k, характеристическая функция представляет собой ряд Фурье:

.

Если Х - непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, то характеристическая функция есть преобразование Фурье плотности вероятностей:

.

Характеристическая функция обладает следующими основными свойствами:

1. , .

2. равномерно непрерывна на всей числовой прямой.

3. . В частности, вещественная характеристическая функция является четной.

4. неотрицательно определена, т. е. для любого конечногоn1, для любых комплексных чиселz₁,…,z_nи любых действительных чиселt₁,…,t_n спра-

ведливо неравенство

.

5. Если –характеристическая функция случайной величиныX,то случайная величинаимеет характеристическую функцию.

6. Характеристическая функция суммынезависимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:

.

7. Если у случайной величины Хсуществует момент порядкаn,то характеристическая функцияимеетnнепрерывных производных и

.

Функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией.Имеет место следующая формула обращения:

для любых точек x и y, являющихся точками непрерывности функции .

Если характеристическая функция абсолютно интегрируема, т.е., то у случайной величины существует плотность вероятностейи

.

Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная неслучайная функцияn вещественных переменных, определяемая равенством:

,

где - скалярное произведение векторов.

Пример 1. Найти производящую функцию геометрической случайной величиныс параметромр>0 и с ее помощью найтии.

Решение. Геометрическая случайная величинапринимает значенияс вероятностями.Поэтому производящая функции этой случайной величины имеет вид:

.

Найдем с помощью производящей функции математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

.

Отметим, что нахождение числовых характеристик геометрической случайной величины через производящую функцию существенно проще, чем непосредственным подсчетом.

Пример 2.Найти характеристическую функцию случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке.

Решение. Случайная величинаимеет плотность вероятностей

Поэтому

.

Пример 3. Характеристическая функция непрерывной случайной величины имеет вид. Найти плотность вероятностей этой случайной величины.

Решение. Характеристическая функцияявляется абсолютно интегрируемой. Поэтому плотность вероятностейслучайной величинысуществует и она представляет собой обратное преобразование Фурье функции :

- закон распределения Коши.

Задачи

3.2.1.Найти производящую функцию числа ''успехов''Хв схеме независимых испытаний Бернулли и с её помощью найтии.

3.2.2.Найти производящую функцию пуассоновской случайной величиныХ и с её помощью найтии.

3.2.3.Пустьи– число испытаний в схеме Бернулли до появления первого иm-го успеха соответственно. Найти производящие функции величини,а также,и,.

3.2.4. Найти законы распределения, которым соответствуют следующие производящие функции:

а) ; б);

в) ; г).

3.2.5.ПустьX – неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функциейp(z).Найти производящие функции случайных величинX+1, 2Х и 3Х+2.

3.2.6.Пустьu_n– вероятность того, что число успехов в последовательностиnиспытаний по схеме Бернулли чётно. Доказать рекуррентную формулу:u_n = qu_n-1 + p(1-u_n-1). Вывести отсюда производящую функцию, а из неё точную формулу дляu_n (u₀ = 1).

3.2.7. Дискретная случайная величинаХможет принимать только два значения –1 и 1 с равными вероятностями. Найти характеристическую функцию данной случайной величины.

3.2.8. Дискретная случайная величинаХимеет закон распределения:

X	-2	0	2
	1/4	1/2	1/4

Найти характеристическую функцию случайной величины Хи с ее помощью вычислить.

3.2.9.Найти характеристическую функцию числа ''успехов''Хв схеме Бернулли и с её помощью найтии.

3.2.10.Найти характеристическую функцию пуассоновской случайной величиныХи с её помощью найтии.

3.2.11.Найти характеристическую функцию случайной величиныХ, принимающей значения(конечное или счетное множество) с вероятностями.

3.2.12.Найти характеристические функции следующих законов распределения:

а) равномерного на отрезке ;

б) показательного с параметром а>0;

в) нормального ;

г) закона Коши с плотностью вероятностей

;

д) закона распределения Лапласа с плотностью вероятностей

;

е) χ²cn степенями свободы с плотностью вероятностей

3.2.13.Случайная величинаXимеет плотность вероятностей:

Доказать, что характеристическая функция случайной величины Xравна:

.

3.2.14.Случайная величина Х имеет плотность вероятностей:

.

Доказать, что характеристическая функция величины Xравна:

3.2.15.Найти характеристическую функцию гамма-распределенияс параметрами, имеющего плотность вероятностей

3.2.16.Найти законы распределения, соответствующие характеристическим функциям:а)в);г) ,где,.

3.2.17.Характеристическая функция случайной величиныХимеет вид:. Найти закон распределения этой случайной величины.

3.2.18.Найти плотности вероятностей случайных величин, имеющих следующие характеристические функции:

а)

б)

в)

г) .

3.2.19.Даны характеристические функции:

, .

Определить соответствующие им плотности вероятностей.

3.2.20.С помощью характеристических функций доказать, что:

а) сумма независимых пуассоновских случайных величин имеет пуассоновское распределение;

б) сумма независимых биномиальных случайных величин, связанных со схемами Бернулли с одинаковыми вероятностями ''успеха'', является биномиальной случайной величиной;

в) сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение;

г) сумма независимых случайных величин, имеющих распределения Коши, также распределена по закону Коши.

3.2.21. ВеличиныXиYнезависимы, одинаково распределены и их характеристическая функция равна(t).Найти характеристическую функцию разности.

3.2.22. Показать, что если(t)– характеристическая функция, то итакже является характеристической функцией.

3.2.23. Убедиться, что функцияявляется характеристической функцией и найти соответствующий ей закон распределения.

3.2.24. Доказать, что при каждом натуральномnфункцияявляется характеристической.

3.2.25.Доказать, что функцияпри, продолженная на всю числовую прямую с периодом2а, является характеристической.

3.2.26.Являются ли характеристическими следующие функции:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж)?

3.2.27. Доказать, что функции

а)

б)

в)

г)

не являются характеристическими.

3.2.28. Дать теоретико-вероятностную интерпретацию равенства

3.2.29.Дать теоретико-вероятностную интерпретацию равенства

3.2.30.Пусть– независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения -1 и1с вероятностями1/2. Найти характеристическую функцию случайной величины, где- постоянные. Показать, что призакон распределения случайной величиныстремится прик равномерному закону распределения на отрезке.

3.2.31. Пусть X₁, X₂, X₃ – независимые случайные величины, имеющие стандартный нормальный закон распределения . Найти совместную характеристическую функцию случайных величин и .

3.2.32. Случайные величины имеют нормальное совместное распределение, причём, и , i, k=. Найти: а) ; б); в).