1.6 Схема Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли

Схемой Бернуллиназывается последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода – «успех» и «неудача». При этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью, «неудача» – с вероятностью.

Обозначим число успехов виспытаниях по схеме Бернулли. Тогдавероятность того, что в испытаниях произойдет ровноуспехов,определяетсяформулой Бернулли:

.

Наиболее вероятным числом успеховвиспытаниях по схеме Бернулли является:

а) единственное число , если числоне целое, здесь [.] – целая часть числа;

б) два числа и, если числоцелое.

Для приближенноговычисления вероятностей в схеме независимых испытаний Бернулли используют результаты следующихпредельных теорем.

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.Если, вероятность- постоянна и величинаограничена равномерно поkиn, то

,

где - плотность вероятностей стандартного нормального закона распределения, значения которой табулированы (таблица П1). При этом для отрицательныххследует в силу четности функцииположить.

Из локальной теоремы Муавра-Лапласа следует вывод: при больших n, а также при условии, чтоpсущественно отличается от 0 и 1,

.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа. В условиях предыдущей теоремы при

где -функция Лапласа (функция распределения стандартного нормального закона распределения). Значения этой функции табулированы (таблица П2). При этом следует иметь в виду, что

.

Замечание:Иногда вместо значений функции Ф(x) табулируются значения функции, которая связана с функцией Ф(х) равенством:

, и при этом .

Из интегральной теоремы Муавра-Лапласа следует вывод: при больших n, а также при условии, чтоpсущественно отличается от 0 и 1, вероятность того, что число успеховk заключено в пределах отприближенно определяется по формуле:

Теорема Пуассона. Пустьитак, что. Тогда для любого:

.

Из теоремы Пуассона следует вывод: при больших n, а также при условии, что вероятностьрмала, причем «мало» также произведение,

Значения функции для некоторых  приведены в таблице П3.

Практические рекомендации по применению предельных теорем (носящие, вообще говоря, условный характер).

Если число испытаний , то все приближенные формулы используют только для грубых прикидочных расчетов. При этом теорему Пуассона применяют в том случае, когдаизменяется в пределах от 0 до 2 приn = 10 и от 0 до 3 приn = 20; в противном случае необходимо пользоваться теоремами Муавра-Лапласа.

При приближенные формулы уже можно использовать для прикладных расчетов. Теорему Пуассона при этом рекомендуется применять, когдазаключено в пределах от 0 до 3 приn = 20 и от 0 до 7 приn = 100; в противном случае необходимо пользоваться теоремами Муавра-Лапласа.

Если , то практически при любых расчетах можно обойтись приближенными формулами. Теорему Пуассона при этом используют в случае, когдаизменяется в пределах от 0 до 7 приn = 100 и от 0 до 15 приn = 1000; в противном случае необходимо пользоваться теоремами Муавра-Лапласа.

Наконец, при даже специальные таблицы рассчитывают с помощью приближенных формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки). В этом случае для применения теоремы Пуассона необходимо, чтобылежало в пределах от 0 до, гдеи увеличивается с ростомn.

Независимые испытания с несколькими исходами. Предположим, что в каждом изнезависимых испытаний возможныисходовс вероятностямисоответственно,.

Обозначим вероятность того, что виспытаниях исход 1 появитсяраз, исход 2 –раз, …, исход–раз,. Тогда для любогои для любых целых

.

Пример 1. Частица пролетает последовательно мимо шести счетчиков. Каждый счетчик независимо от остальных регистрирует её пролёт с вероятностью. Частица считается обнаруженной, если она зарегистрирована не менее чем двумя счетчиками. Найти вероятность обнаружения частицы.

Решение.Пусть– событие, состоящее в обнаружении частицы. Через обозначим событие, состоящее в том, что частицу зарегистрировали ровносчетчиков (). Очевидно, что. Используя теорему сложения вероятностей и учитывая, что события() попарно несовместны, получаем

,

причем .

Решение этой задачи в вычислительном отношении будет более простым, если мы прежде найдем вероятность события – частица зарегистрирована менее чем двумя счетчиками. В этом случае

.

Пример 2. На одном из факультетов университета учатся 730 студентов. Для всех студентов вероятности того, что их день рождения приходится на конкретную дату в течение года, состоящего из 365 дней, одинаковы. Найти вероятность того, что 25 января (Татьянин день) является днем рождения не менее трех студентов этого факультета.

Решение. Пусть– событие, состоящее в том, что случайно выбранный студент родился 25 января. Считая, что год содержит 365 суток, находим. Последовательная проверка в отделе кадров университета всех 730 студентов на предмет того, является ли день 25 января днем рождения конкретного студента, может рассматриваться как последовательность 730 независимых однотипных испытаний, в каждом из которых может осуществиться событиес одной и той же вероятностью(или не осуществиться с вероятностью). Таким образом, можно применить формулу Бернулли. Однако, поскольку число испытанийвелико, а вероятностьмала (значительно меньше единицы) и к тому же, для решения задачи можно воспользоваться теоремой Пуассона, в соответствии с которой:

.

Числовое значение искомой вероятности получено с помощью таблицы П3.

Пример 3. Из статистических исследований известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 новорожденных детей мальчиков будет ровно 100.

Решение. Рождение мальчика будем рассматривать как «успех» в каждом из 200 независимых испытаний, связанных с рождением 200 детей. Очевидно, имеет место схема Бернулли, причем числодостаточно велико для применения предельных теорем. Заметим, что вероятности «успеха»и «неудачи»сопоставимы по своим значениям и существенно отличаются от 0 и 1. Поэтому для нахождения искомой вероятноститого, что в серии изиспытаний случится ровноk = 100 «успехов», воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. Сначала подсчитаем значения:

Используя таблицу П1, находим:

Видим, что вероятность рассматриваемого события невелика, как и следовало ожидать.

Пример 4. Определить, какое числоподбрасываний симметричной монеты надо произвести, чтобы наблюденная относительная частотавыпадения «герба» отличалась от вероятностивыпадения «герба» при одном подбрасывании не более чем на 0,01 с вероятностью 0,99.

Решение. Предположим, что– число проведенных испытаний, аk– число выпадений «герба» (частота). В соответствии с условием задачи относительная частотадолжна быть заключена в пределах отдо. Тогда для числа выпадений «герба» должно быть справедливо неравенство, где,,. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:

,

где для

; .

Тогда .

Вообще полезно запомнить формулу

Поскольку по условию задачи требуется, чтобы , то приходим к уравнению относительно:.

Используя таблицу П2, находим , откуда получаем. Таким образом, необходимо произвести около 17000 подбрасываний монеты.

Задачи

1.6.1.Вероятность попадания в цельp=0,25.Сбрасывается единично 8 бомб. Найти вероятность того, что будет: а) не менее 7 попаданий; б) не менее одного попадания.

1.6.2.Монета бросается 20 раз. Найти вероятнейшее число появления герба.

1.6.3.Производится 10 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,2. Найти: а) наиболее вероятное число попаданий; б) вероятность того, что число попаданий будет не меньше 2 и не больше 4.

1.6.4.Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8 (ничьих не бывает).

1.6.5.Вероятность появления некоторого события в каждом из 18 независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события по крайней мере 3 раза.

1.6.6.В некотором семействе имеется 10 детей. Вероятность рождения мальчика и девочки 1/2. Найти вероятность того, что: а) имеется 5 мальчиков и 5 девочек; б) число мальчиков заключено между 3 и 8.

1.6.7.Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит: а) цифры 5; б) двух пятерок. Известно, что все номера 4-значные, неповторяющиеся и равновозможные.

1.6.8.В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал 6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятностьтого, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набираетkочков,k=0, 1, …, 5.

1.6.9.Испытание заключается в бросании 3 игральных костей. Найти вероятность того, что при 10 испытаниях ровно в 4 испытаниях появится в точности по две шестерки.

1.6.10.Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы шестерка появилась хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей 0,9?

1.6.11.Во время тренировок установлено, что спортсмен может улучшить прежний результат с вероятностьюpпри каждой попытке. Какова вероятность того, что на очередных соревнованиях, где разрешается три попытки, спортсмен улучшит свой результат?

1.6.12.При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включеноновых электролампочек. Каждая электролампа в течение года перегорает с вероятностью. Найти вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально включенных электроламп придётся заменить новыми.

1.6.13.Имеетсялунок, по которым случайным образом разбрасываетсяшариков. Найти вероятность того, что в конкретную (например, в первую) лунку попадёт ровношариков.

1.6.14.Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора в серии из трех независимых опытов, если вероятности отказа прибора при одной, двух и трех опасных перегрузках соответственно равны 0,2; 0,5; 0,8.

1.6.15.Прибор, состоящий изузлов, работает в течение времени. Вероятность безотказной работы каждого узла за времяравно. По истечении времениприбор выключают и проводят замену вышедших из строя узлов. На замену одного узла требуется время. Найти вероятность того, что через времяпосле выключения прибор будет подготовлен к работе.

1.6.16.Вероятность появления событияАхотя бы один раз при четырех независимых испытаниях равна 0,59. Какова вероятность появления событияАпри одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

1.6.17.В случае воздушного налета противника на город, система противоздушной обороны направляет на перехват каждого самолета противника по два истребителя. Каждый истребитель поражает цель независимо от другого с вероятностью. Найти вероятность того, что при воздушном налетесамолетов будет уничтожено: а) ровно три самолета противника; б) не менее двух самолётов.

1.6.18.Для поражения цели производится серия независимых выстрелов. Цель считается пораженной, если в неё попало не менее двух снарядов. Сколько следует произвести выстрелов для поражения цели с вероятностью не менее 0,98, если вероятность попадания снаряда в цель при одном выстреле равно 0,3?

1.6.19.На отрезке [0,10] наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки попадут в отрезок [0,2], одна в отрезок [2,3] и две в отрезок [3,10]?

1.6.20.В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных наудачу в круг, четыре попадут в квадрат, три - в один сегмент и по одной - в оставшиеся три сегмента?

1.6.21.Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаев из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Рассмотреть два случая: а) зрители приходят парами; б) зрители приходят поодиночке. Предполагается, что зрители выбирают входы с равными вероятностями.

1.6.22.Вероятность заболевания человека гриппом во время эпидемии равна. 0,3. Найти вероятность того, что из 400 сотрудников фирмы заболеют во время эпидемии: а) ровно 120 сотрудников; б) не более 120 сотрудников.

1.6.23.Найти вероятность того, что в2n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успехаpв одном испытании (pмала) в первыхn испытаниях будет m успехов, а в последующих nиспытаниях - l успехов, и при этом один из успехов наступит в испытании с номером 2n.

1.6.24.Каждый из девяти шаров с одинаковой вероятностью может быть помещен в один из трех первоначально пустых ящиков. Определить вероятность того, что: а) в каждый ящик попало по три шара; б) в один ящик попало 4, в другой - 3, а в оставшийся - 2 шара.

1.6.25.В урне имеется три шара: черный, красный и белый. Из урны шары по одному извлекаются 5 раз, причем после каждого извлечения шар возвращается обратно. Определить вероятность того, что черный и белый шары извлечены не менее чем по 2 раза каждый.

1.6.26.Телефонный кабель содержит 400 жил. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к телефонной сети 395 абонентов, если для подключения одного абонента нужна 1 жила, а вероятность того, что она повреждена, равна 0,01?

1.6.27.Известно, что 30% призывников носят обувь 42 размера. Сколько пар обуви указанного размера необходимо иметь на складе воинской части, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить всех таких призывников, если планируется прибытие 200 новобранцев?

1.6.28.В жилом доме имеется 6000 ламп. Вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет: а) равно 3000; б) заключено между 2950 и 3050.

1.6.29.Брошено 6 правильных игральных костей. Какова вероятность выпадения цифры "1" а) хотя бы один раз; б) ровно один раз; в) ровно два раза? Найти точные значения и сравнить с результатом, полученным по теореме Пуассона.

1.6.30.Партия из 100 изделий подвергается выборочному контролю. Партия бракуется, если среди пяти проверяемых изделий обнаруживается хотя бы одно негодное. Какова вероятность того, что партия будет забракована, если в ней содержится 5% негодных изделий?

1.6.31.Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить: а) не менее 3 семян сорняков; б) не более 16 семян сорняков; в) ровно 6 семян сорняков? (Применить теорему Пуассона).

1.6.32.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более выстрелами при залпе в 5000 выстрелов. (Применить теорему Пуассона).

1.6.33.Задача - шутка. Имеется тесто в количествеVдля изготовления булок с изюмом, который берется в количествеnизюминок. Какова вероятность того, что в наугад выбранной булке будет хотя бы одна изюминка, если на каждую булку идетU теста. (Решить двумя способами: с использованием теоремы Пуассона и без нее).

1.6.34.Некоторая машина состоит из 1000 деталей. Каждая деталь независимо от других деталей может оказаться неисправной с вероятностью 0,0003. Машина не работает, если в ней неисправны хотя бы две детали. Найти вероятность того, что машина не будет работать.

1.6.35.Найти вероятность того, что число выпадений "1" при 12000 бросаний игральной кости заключено между 1900 и 2150.

1.6.36.В урне находятся шары белого и чёрного цвета. Известно, что доля белых шаров равна либо 0,5, либо 0,4. Из урны извлечено с возвращением 100 шаров и обнаружено, что белые шары составляют большую часть выбранных. В результате этого наблюдения сделан вывод, что доля белых шаров в урне равна 0,5. Чему равна вероятность того, что принято ошибочное заключение?

1.6.37.На факультете 500 студентов. Вероятность рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января, и вероятность того, что найдутся три студента с одним и тем же днем рождения.

1.6.38.В страховом обществе застраховано 10000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течении года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный вносит 1 января 12 рублей страховых. В случае смерти его родственники получат от общества 1000 рублей. Найти вероятность того, что: а) общество потерпит убыток; б) общество получит прибыль, не меньшую 40000, 60000, 80000 рублей.

1.6.39.Вероятность некоторого события в каждом изn испытаний равнар. Найти вероятность того, что: а) относительная частота наступления события приn=1500 отклонится отр = 0,4 в ту или другую сторону меньше чем на 0,02; б) число появлений события будет заключатся между 570 и 630; 600 и 660; 620 и 680; 580 и 640. (приn=1500 ир = 0,4).

В каких границах находится та частота события при n=1200, для которой вероятность отклонения относительной частоты отравна 0,985?

Сколько испытаний необходимо провести, чтобы вероятность отклонения относительной частоты от в ту или другую сторону меньше чем на 0,01 была равна 0,995?

1.6.40.Пусть– число успехов при проведениииспытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха.

а) Сколько нужно произвести испытаний, чтобы относительная частота успехов отличалась от вероятностиуспеха не более чем нас вероятностью.

б) Считая относительную частоту оценкой вероятности, определить, во сколько раз нужно увеличить число испытаний, чтобы уменьшить погрешность оценкивраз. (Воспользоваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа).

35