1.3. Геометрическое определение вероятности

Случайный эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, если:

• исходы эксперимента можно изобразить точками некоторой области , имеющей конечную меру;

• можно считать, что попадание точки в любые области , имеющие одинаковую меру,равновозможнои не зависит от формы и расположениявнутри. При этом говорят, чтоточка равномерно распределенав областиили бросается в областьнаудачу.

Согласно геометрическому определению вероятностивероятность попадания точки в любую область(событие) пропорциональна ее мере:

.

В приводимых ниже задачах под мерой понимается длина при; площадьпри; объемпри.

Пример 1.Определить вероятность того, что длина хорды, наудачу проведенной из данной точкиединичной окружности, больше стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.

Решение.Обозначим- угол между фиксированным диаметром, проходящим через точку, и хордой (см. рис. 1.3). Тогда все возможные направления хорды определяются неравенством, то есть. Благоприятствующими искомому событиюявляются значения углов, для которых длина хордыбудет больше, то есть.

Рис. 1.3

Следовательно,

.

Замечание.Решить данную задачу другим способом.

Пример 2. (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние. На плоскость на удачу бросают иглу длиной. Найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых.

Решение.Обозначим- расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а- угол, который образует игла с этой прямой (см. рис. 1.4).

Рис. 1.4 Рис 1.5

Тогда множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника .

Игла пересечет ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенствам (см. рис. 1.5):

.

Площадь области, соответствующей искомому событию равна

.

Так как , то.

Задачи

1.3.1. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты – красный, затем снова одну минуту – зеленый и полминуты – красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность, что он проедет перекресток без остановки?

1.3.2. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше 1, не превзойдет 1, а их произведение будет не больше 2/9?

1.3.3.Из отрезка [1;3] наугад выбираются 2 вещественных числа. Найти вероятность того, что их сумма больше их произведения.

1.3.4. Спутник двигается по орбите между 60° северной широты и 60° южной широты. Вероятность падения спутника в любую область пропорциональна площади этой области. Вычислить вероятность падения спутника севернее 30° северной широты.

1.3.5. В круг радиуса R наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до центра круга не превысит r?

1.3.6. На окружности радиуса R наудачу взяты две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними не превышает r ?

1.3.7.В единичном круге проведена хорда параллельно заданному направлению. Определить вероятность того, что длина хорды будет больше стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.

1.3.8.На окружности радиусанаугад поставлены три точки. Чему равна вероятность того, что треугольниктупоугольный?

1.3.9.Значенияиравновозможны в квадрате. Определить вероятности того, что: а) корни квадратного уравнениядействительны; б) корни квадратного уравненияположительны.

1.3.10.Паркетный пол составлен из прямоугольных плиток размером 8 см на 26 см. Найти вероятность того, что упавшая на пол монета полностью окажется на одной плитке, если ее диаметр равен 2 см.

1.3.11.На бесконечную “шахматную доску” со стороной квадратанаудачу бросается монета радиуса. Найти вероятности того, что:

а) монета попадет целиком внутрь одного квадрата;

б) монета пересечет не более одной стороны квадрата.

1.3.12.Считая, что монета представляет собой цилиндр с высотойh, равной половине диаметраd, найти вероятность того, что при бросании монеты она упадет на ребро.

1.3.13.Какова вероятность не целясь попасть бесконечно малой пулей в квадратную решетку, если толщина прутьев равна, а расстояние между их средними линиями равно?

1.3.14.На отрезокдлиныброшена точкатак, что любое ее положение на этом отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (или) имеет длину большую, чем.

1.3.15. На отрезке длины l наугад взяты две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше , если ?

1.3.16.Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит, будет больше?

1.3.17. На отрезок [0, l] наудачу брошено две точки, разбившие его на три отрезка. Какова вероятность того, что из них можно построить треугольник?

1.3.18. В круг радиусом R вписан правильный n – угольник. В круг бросают наугад точку. Какова вероятность того, что точка попадет внутрь многоугольника?

1.3.19. (Задача о встрече) Двое договорились встретиться на отрезке времени . Первый пришедший ждет второго времяl . Найти вероятность того, что встреча произойдет.

1.3.20.Девушка и юноша договорились встретиться у кинотеатра с 17 часов до 17 часов 30 минут. Если девушка придет раньше юноши, она будет ждать не более 10 минут, а юноша обязательно дождется девушки. Какова вероятность их встречи?

1.3.21.Два теплохода должны подойти к одному причалу. Время прихода каждого из них равновозможно в течение суток и не зависит от времени прихода другого. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода 1 час, а второго – 2 часа.

1.3.22. К автобусной остановке в течение каждых 10 минут подходит один автобус A и один B. Оба автобуса прибывают на остановку в случайный момент времени на каждом 10-минутном интервале. Стоянка автобуса A - 1 мин, а автобуса B - 1,5 мин. Какова вероятность того, что одному автобусу придется ожидать, пока другой покинет остановку?

1.3.23. В любые моменты интервала времени T равновозможны поступления в приемник двух независимых сигналов. Приёмник пропустит сигнал, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность того, что приемник пропустит сигнал.

1.3.24.В случайный момент временипередается сигнал длительностью. В случайный моментвключается приемник на время. Найти вероятность обнаружения сигнала, если:

а) приемник настраивается мгновенно;

б) время настройки приемника равно .

1.3.25.На шарик нанесена сетка географических координат. Шарик наудачу брошен на плоскость. Найти вероятность того, что он прикоснется точкой: а) которая находится в области междуивосточной долготы; б) которая находится в области междуисеверной широты.

1.3.26.На поверхности шара берут наудачу две точки и соединяют меньшей дугой большого круга. Найти вероятность того, что дуга не превзойдет.