Матан Лекции
.pdf
По условию: lim |
|
|
MP |
|
= 0 , |
|
NMP = ϕ, |
|
NM |
|
= |
|
|
|
|
MP |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Угол ϕ - постоянный и не равный 900, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
MP |
|
= lim |
|
NM |
|
|
|
cosϕ = lim |
|
NM |
|
= 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
NM |
|
= |
|
MQ |
|
− |
|
QN |
|
|
|
= |
|
y − y |
|
= |
|
f (x) −(kx +b) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда lim[ f (x) −(kx +b)] = 0 . |
|
|
|
|
|
||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой |
|||||||
необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. |
|
||||||
В полученном выражении выносим за скобки х: |
|
||||||
|
|
|
|
f (x) |
|
b |
|
|
|
|
lim x |
|
− k − |
= 0 |
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
Т.к. х→∞, то lim |
f (x) |
− k − b |
= 0 , т.к. |
b = const, то lim b = 0; |
lim k = k . |
||
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
x→∞ x |
x→∞ |
x→∞ |
x |
|
|
|
|||
Тогда lim f (x) − k −0 = 0 ,
x→∞ x
Т.к. lim[f (x) −(kx +b)]= 0 ,
x→∞
следовательно, k
то lim[f (x) − kx]−
x→∞
= lim f (x) .
x→∞ x
limb = 0 , следовательно,
x→∞
b = lim[f (x) − kx]
x→∞
Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
11.6. Общая схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2)Точки разрыва. (Если они имеются).
3)Интервалы возрастания и убывания.
4)Точки максимума и минимума.
5)Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6)Области выпуклости и вогнутости.
7)Точки перегиба.(Если они имеются).
8)Асимптоты.(Если они имеются).
9)Построение графика.
31
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл.
12.1. Первообразная функция.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F′(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
12.2. Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.
Записывают: ∫ f (x)dx = F (x) +C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
является непрерывность функции на этом отрезке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Свойства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. (∫ f (x)dx)′ = (F (x) +C)′ = f (x); |
|
|
2. d(∫ f (x)dx)= f (x)dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. ∫dF (x) = F (x) +C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. ∫C f (x)dx = C ∫ f (x)dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. ∫(u + v − w)dx = ∫udx + ∫vdx − ∫wdx; где u, v, w – некоторые функции от х. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.3. Таблица основных интегралов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Интеграл |
|
|
|
|
|
|
Значение |
|
|
Интеграл |
|
Значение |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
∫tgxdx |
|
|
|
|
|
|
|
-ln cosx +C |
|
9 |
∫exdx |
|
|
|
|
|
|
ex + C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
∫ctgxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln sinx + C |
|
10 |
∫cos xdx |
|
sinx + C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
∫a xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
∫sin xdx |
|
-cosx + C |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
|
x |
|
+C |
|
12 |
∫ |
1 |
|
|
|
dx |
|
|
tgx + C |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
x + a |
|
|
+C |
|
13 |
∫ |
1 |
|
|
dx |
|
-ctgx + C |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
− a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2a |
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
+ C |
|
|||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
± a 2 |
+C |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x2 ± a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7 |
∫ |
|
xαdx |
|
|
|
|
|
|
|
xα+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
1 |
|
|
dx |
|
x |
|
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C,α ≠ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
tg |
|
|
|
+ |
|
|
|
+C |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α +1 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8 |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
+C |
|
16 |
∫ |
1 |
|
dx |
|
ln |
|
tg |
x |
|
+C |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|