Матан Лекции

3.6. Некоторые замечательные пределы.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения (таблица эквивалентности для бесконечно малых)

11

Лекция 6. Производная функции.

6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

f ′(x) = lim f (x + ∆x) − f (x)

∆x→0 ∆x

у

f(x)

где α - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какойлибо точке.

Уравнение касательной к кривой: y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) Уравнение нормали к кривой: y − y0 = − f ′(1x0 ) (x − x0 ) .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функциискорость изменения скорости, т.е. ускорение.

12

Лекция 7. Дифференцирование функций.

7.1. Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в

( с учетом того, что если ∆x→0, то ∆u→0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда dydx = dudy dudx Теорема доказана.

7.2. Логарифмическое дифференцирование.

Учитывая полученный результат, можно записать (ln f (x) )′ = ff′((xx)) .

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле f ′(x) = (ln f (x) )′ f (x)

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

7.3. Производная показательно-степенной функции.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

14

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0. Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

7.4. Производная обратных функций.

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей

dy

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

производной арктангенса: (arctgy)′ = 1+1y2 ;

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

15

Лекция 8. Дифференциал функции.

8.1. Понятие о дифференциале функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х: lim ∆y = f ′(x)

∆x→0 ∆x

∆y = f ′(x) ∆x +α ∆x . Величина α∆x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f′(x)∆x, т.е. f′(x)∆x- главная часть приращения ∆у.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения

следует, что dy = f′(x)∆x или dy = f′(x)dx. Можно также записать: f ′(x) = dydx

Из треугольника ∆MKL: KL = dy = tgα ∆x = y′∆x

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

16

8.3. Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1)d(u ± v) = (u ± v)′dx = u′dx ± v′dx = du ± dv

2)d(uv) = (uv)′dx = (u′v + v′u)dx = vdu + udv

3)d(Cu) = Cdu

4)d u = vdu −udv

v v2

8.4. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция. Тогда dy = f′(x)g′(t)dt = f′(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какойто другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, то dx = ∆x, но если х зависит от t, то ∆х ≠ dx. Таким образом форма записи dy = f′(x)∆x не является инвариантной.

17

Лекция 9. Теорема Тейлора. Формула Тейлора.

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и нек оторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}. 2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ≠ а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка ε, что справедлива формула:

-это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

f (n+1) (ε) (x − a)n+1 = Rn+1 (x) называется остаточным членом в форме Лагранжа. (n +1)!

Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x) Теорема доказана.

18

Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).

Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка ε (a, x), то найдется

Если принять n =0, получим: f(x0 + ∆x) – f(x0) = f′(x0 + θ∆x) ∆x – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).

9.2. Формула Маклорена.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

19

9.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Дифференциал функции y = f(x) зависит от ∆х и является главной частью приращения ∆х.

Также можно воспользоваться формулой dy = f ′(x)dx

Тогда абсолютная погрешность ∆y − dy

Относительная погрешность ∆y − dy dy

20