Линейная алгебра образцы решений

2. Строим по определению матриц^^ оператора А. Для этого на­ ходим образы базисных векторов г, j , fc и записываем их координаты в базисе i^j^k. Столбцы искомой матрицы — это столбцы координат образов базисных векторов.

3. Раходим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из их определений.

ПРИМЕР. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i,j,^), образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства геометрических векторов Vs на плоскость XOY.

РЕШЕНИЕ.

1.Докажем по определению линейность оператора проецирова­ ния. Пусть в базисе г, j , fc имеем произвольный вектор х = {^i, Х2, жз}. Тогда его образ (проекция) есть Рх = {ж1,а:2,0}.

По правилам операций с геометрическими векторами в коорди­ натной форме Vf ={xi,X2,xs} е Уз, Уу = {у1,2/2,2/з} G Vs и Va G R имеем

Р{х + ^) = {xi Н- 2/1, Х2 Ч- 2/2,0} = {жх, д;2,0} + {2/1,2/2,0} = Рх + Ру,

Р{ах) = {axi,ax2,0} = Q:{xi,X2,0} = аРх.

2. Так как по определению матрицы оператора ее столбцы — это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы базисных векторов г, jf, fc и запишем их координаты в базисе г, j , /с:

Р? = ? = {1,0,0}, P j = j = {0,1,0}, Pfc=:6= {0,0,0}.

Таким образом, матрица оператора проецирования Р есть

3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из определений. ^

Образ оператора проецирования Р — это множество векторов, лежащих в плоскости XOY, следовательно, в базисе г, j , к

lmgP = {iy: у = аг + Рз, а,/ЗеМ}.

Отсюда R g P = 2.

КегР — это множество векторов, коллинеарных оси 0 Z , следова­ тельно, в базисе г, j , ^

КегР = {Ух: x = jk, 7 ^ Щ-

Отсюда Def Р = 1.

Заметим, что Rg Р + Def Р = 2 + 1 = dim V3

Ответ. Оператор Р линеен. Его матрица в базисе i^j^k есть

Условия ЗАДАЧ. Доказать линейность, найт,и матрицу (в ба­ зисе i^j^k), образ, ядро, ранг и дефект оператора.

1.Оператор проецирования на ось ОХ.

2.Оператор отражения относительно плоскости YOZ.

3.Оператор поворота относительно оси ОХ на угол тг/З в поло­ жительном направлении.

4.Оператор отражения относительно плоскости х — z = 0.

5.Оператор проецирования на плоскость у -\- z = 0.

6.Оператор поворота относительно оси 0Z на угол тг/б в поло­ жительном направлении.

7.Оператор проецирования на плоскость х -\-у = 0.

8.Оператор отражения относительно плоскости у — z = 0.

9.Оператор проецирования на плоскость л/Зу + z = 0.

10.Оператор поворота относительно оси 0Y на угол 7г/4 в поло­ жительном направлении.

2.7.Действия с операторами и их матрицами

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. В некотором базисе трехмерного линей­ ного пространст,ва Хз заданы отображенгия

X |-> Ах —

= {aiixi + ai2X2 + 013X3,021X1 + 022X2 + a2zX3,031X1 + 032X2 + 033X3},

складываются, при умножении на число — умножаются на это число, а матрица композиции операторов равна произведению их матриц,

Ри Pi2 Р13 Р21 Р22 Р23 Р31 Р32 РЗЗ

Записываем ответ в виде Р ( А , В ) х = {yi,г/2?Уз}-

П Р И М Е Р . В некотором базисе трехмерного линейного простран­ ства Хз заданы отображения

ж |-> Аж = {xi + Ж2 - жз, Ж2 Н- жз, жз},

ж |-> Вх = {х2 + 2жз, - a:i, Ж2},

где ж = {ж1, Ж2, Жз} — произвольный вектор пространства Х^. Найти координаты вектора {2А -{- Ао В)х в том же базисе.

РЕШЕНИЕ.

1. Построим матрицы операторов А и. В:

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц вычисляем матрицу 2А + АВ:

Условия ЗАДАЧ. Пусть в некотором базисе заданы отображе­ ния Ах ={xi -2хз,Х2,Х2 - х з } и Вх = {2хз,Х1,-Х2}. Найти коорди­ наты векторов Р{А, В)х.

2. Находим обратную матрицу С ^ и проверяем, что С ^С — Е.

3.По формуле (1) находим столбец координат вектора х в базисе

-1 ? ^ 2 ? •

«2

Записываем ответ в виде Хе' = {а^, «2? • • • ? ^п}-

ПРИМЕР. Вектор х в базисе е1,е2,ез имеет координаты {1,2,3}. Найти координаты вектора х в базисе 61,62,63, где

e'l = е 1 + 2ез,

е'2 = 62 + 63, 63 = —б1 — б2 — 2бз.

РЕШЕНИЕ.

1.Находим матрицу перехода

10 - 1

С= 0 1 - 1

21 - 2

2.Находим обратную матрицу С ^ методом Гаусса:

Таким образом.

с - 1

Проверяем, что С ^С = Е.

3. По формуле (1) находим столбец координат вектора х в базисе

Ответ. Хе/ = {0,1,-1}.

2.9. Преобразование матрицы оператора

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти матрицу некоторого оператора А в базисе 6^, 62,..., 6^, где