Линейная алгебра образцы решений

Условия ЗАДАЧ. Найти матрицы A^i в базисе е'^,62,63, где

е[ ~ 2ei + 3e2 +63, 62 = 3ei -f-4e2 + ез, е'з = е1+2е2 + 2ез,

если заданы мат^рицы А^ в базисе 61,62,63.

68 Гл. 2. Линейная алгебра

2.10.Собственные значения и собственные векторы оператора

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти собственные значения и собст­ венные векторы оператора А : Х„ ь-> Х^, заданного в некотором базисе матрицей

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Собственные значения оператора А являются корнями его характеристического уравнения det(>l — \Е) — 0.

1.Составляем характеристическое уравнение и находим все его вещественные корни (среди них могут быть и кратные).

2.Для каждого собственного значения Лг найдем собственные век­ торы. Для этого записываем однородную систему уравнений

3. Столбцы XJ, ^ 2 , . . . , Х!1;^_^. являются столбцами координат иско­ мых собственных векторов е^, 62,..., е^_^.. Окончательно для Л = Л» записываем ответ в виде

РЕШЕНИЕ.

1.Составляем характеристическое уравнение:

Очевидно, ранг матрицы этой системы равен 1 {п — г = 2 — размер­ ность пространства решений), следовательно, система нетривиально совместна и ее фундаментальная система решений имеет вид

Итак, двукратному собственному значению Ai^2 = 3 соответствуют два линейно независимых собственных вектора ei = {1,1,0} и е2 = = {1,0,1}. Множество всех собственных векторов 5AI2=3J соответ­ ствующих собственному значению Ai^2 = 3, имеет вид

Зхг,2=з = {х : X = Ciei + С2е2 ^ 0}.

Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному значению Аз = 1. Получим ез = {0,1,1}. Поэтому мно­ жество всех собственных векторов Sx^^i, соответствующих собственному значению Аз = 1, имеет вид

5лз=1 = {х : X = Сзез ф 0}.

Ответ.

'S'AI,2=3 = { X : x=:Ciei + C2e2 7^0},гдее1={1,1,0}ие2 = {1,0,1};

5лз=1 - {х : X = Сзез / 0}, где ез = {0,1,1}.

Условия ЗАДАЧ. Найти собственные значения и собственные векторы операт,оров А : Х^ ь-> Хз, заданных в некот^ором базисе мат^рицами.