Линейная алгебра образцы решений

РЕШЕНИЕ.

1.Записываем матрицу системы и с помощью элементарных пре­ образований строк преобразуем ее к редуцированному виду:

Очевидно, что первый и второй столбцы матрицы Аред. (и исходной матрицы А) линейно независимы, а остальные столбцы являются их линейными комбинациями. Поэтому первый и второй столбцы — ба­ зисные.

2. Так как количество линейно независимых столбцов матрицы Лред. равно двум, то

RgA = RgApefl. = 2 .

Следовательно, размерность пространства решений

d = n - r = 5 - 2 = 3

и фундаментальная система решений состоит из трех линейно неза­ висимых решений.

3. Неизвестные xi и жз, соответствующие базисным столбцам, яв­ ляются базисными, неизвестные жз,Ж4,Ж5 — свободными.

Запишем систему уравнений с матрицей Аред, (эта система эк­ вивалентна исходной) и перенесем свободные неизвестные в правые части уравнений системы:

Для первого набора свободных неизвестных Жз = 1, Ж4 = О, Х5 = О получаем Xi = —5/2, Х2 = —2, т.е. первое решение имеет вид системы

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Записываем расширенную матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем мат­ рицу Арасш. К редуцированному виду.

2. Вычисляем ранги основной матрицы системы А и расширенной матрицы Арасш. • Если Rg Арасш. = Rg -4, ТО систсма совместна, если Rg^pacm. Ф Rg^) ТО система несовместна (решений не имеет).

3. Пусть RgApacm. = Rg А = Г. Тогда общее решение неоднород­ ной системы линейных уравнений определяется формулой

•^о.н. = ^ ч . н . -f C i X i + (^2 ^ 2 Н- . . . 4- Сп-т Хп-Г)

где Хч.н. — какое-либо частное решение неоднородной системы, Xi,X2,..' ,Хп-г — фундаментальная система решений соответст­ вующей однородной системы и Ci, С2,. • •, Сп-г — произвольные по­ стоянные.

Чтобы найти фундаментальную систему решений однородной сис­ темы уравнений Xi,X2, ... ,Хп-г5 повторим операции, изложенные в задаче 1.

4. Столбец свободных членов В расширенной матрицы есть линей­ ная комбинация базисных столбцов матрицы А. Добавляя к этому вы­ ражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем разложение столбца свободных членов по всем столбцам матрицы А. Коэффициенты этого разложения образуют частное решение неодно­ родной системы Хч.н. •

5. Записываем общее решение неоднородной системы линейных уравнений:

\Xn )

где Xxi.H. — какое-нибудь частное решение неоднородной системы, ^15-^2, ••• j ^ n - r — фундаментальная система решений соответст­ вующей однородной системы уравнений и Ci, С2,..., Cn-r — произ­ вольные постоянные.

ПРИМЕР 2. Найти общее решение неоднородной системы линей­ ных уравнений

РЕШЕНИЕ.

1.Записываем расширенную матрицу системы и с помопц>ю эле­ ментарных преобразований строк преобразуем матрицу Арасш. к ре­ дуцированному виду:

2. Так как RgApacm. = R g ^ = 2, то система совместна. Так как 72 — г = 5 — 2 = 3, то общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой

Хо.-а. = -^ч.н. + C l X l -h С2 Х2 + Сз Х з ,

где Хн.н. — какое-нибудь частное решение неоднородной системы, Х1,Х2,Хз — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и С1,С2,Сз — произвольные постоянные.

3. Запишем соответствующую однородную систему уравнений

Условия ЗАДАЧ. Найти размерность d пространст,ва решений {количество линейно независимых решений)^ фундаментальную сис­ тему решений {базис пространства решений) и общее решение сис­ тем линейных уравнений.

2xi — 4x2 - 22x3 - 5x4 + 5x5 == 0, 5xi — X2 -f 8x3 — 2x4 -f 2x5 = 0, 3xi - 3x2 - 12x3 - 4x4 + 4x5 = 0, 4xi -j- 9x2 — 5x3 — 8x4 = 5,

3xi + 7x2 - 2x3 - 4x4 = 4, 2xi + 5x2 -f X3 H- 3x4 = 3.

6x1 - 9x2 + 21x3 - 3x4 - 12x5 = 0, 8x1 - 12x2 + 28x3 - 4x4 - 16x5 = 0, 2xi - 3x2 + 7x3 - X4 - 4x5 = 0,

-X2 -f 4x3 H- 8^4 - ^5 = 1, 2xi - 9x2 + 2x3 + X5 = 7, xi - 4x2 - X3 - 4x4 -f X5 = 3.

3xi -f 11x2 - 7x3 - 4x4 = 5.

4x1 - бж2 + 7хз - 6x4 Н- 4x5 = о, XI + 4x2 + 2хз Н- 2x4 - 5x5 = О, 6x1 + 2x2 + 112;з — 2x4 - 6x5 = О,

4X1 + 5X2 + 5Хз + 3X4 + 2X5 = 1, 3X1 + 4X2 + Жз + 3X4 = 1, 2X1 + 3X2 — ЗХз + 3X4 — 2X5 = 1.

4x1 — 112^2 4- 5хз 4- 2x4 4- 3x5 =7, 3x1 - 8x2 4- Хз 4- 2x4 = 5, 2x1 — 5x2 - Зхз 4- 2x4 — 3x5 = 3.

2.5. Линейные операторы

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пусть в некотором базисе линейного пространст,ва Хп задан произвольный вектор х = {xi,a;2, •. • ,Жп}. Явллет,ся ли линейным оператор А : Хп »-> Хп такой^ что

2<?е / i , /г, • • •, /п — некоторые функции п переменных^

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Х = {a:i,X2,... ,а:п} и у = {2/1,2/2, • • • ,2/п} — произвольные векторы пространства Х„, то ж4-2/ = {^i+T/i, ^2+2/2, • • •, 2^п + 2/п} и аж = {axi, ах2, ... , ажп}.

Проверяем условия линейности оператора:

А{х + у) = Ах + А2/,

А{ах) = аАх.

Если условия линейности выполнены, т.е.

fi{axi,ax2,..., ахп) = Q:/i(xi, Ж2,..., Жп)

при г = 1,2,..., п, то оператор Л линеен, в противном случае опера­ тор А нелинеен.

ПРИМЕР . Пусть в некотором базисе линейного пространства Х^ задан произвольный вектор х = {х1,Х2,хз}' Является ли линейным оператор А : Х^ ^ Х^ такой, что

Ах = {xi - Х2,2x1 + ^3, Зжх}?

РЕШЕНИЕ. Пусть х — {xi,X2,x^} и г/ = {t/i, 2/2,2/з} - произвольные векторы пространства ХзТогда х -\-у — {xi + 2/I) ^2 + 2/2, а:з + 2/з} и ах = {axi, аж2, скжз}.

*) Найденные фундаментальные системы решений однородных систем уравне­ ний и частные решения неоднородных систем проверьте с помощью подстановки в уравнения.

Проверяем условия линейности оператора:

А{х-\-у) = {(xi+2/i)-(a;2-f2/2),2(a;i+2/i) + (x3+?/3),3(xi+yi)} =

= {xi - Х2,2x1 + жз, 3xi} + {yi - 2/2,2yi + г/3, ^Vi} = Аж + Ay,

Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор А линеен.

Ответ. Оператор А линеен.

Условия ЗАДАЧ. Являются ли линейными операторы А, В иС1