Линейная алгебра образцы решений

Г л а ва 2 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

При изучении темы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА вы познакомитесь на примерах с понятиями линейного (векторного) пространства, линей­ ного оператора, его матрицы, образа, ядра, ранга, дефекта, собствен­ ных векторов и собственных значений. Вы научитесь выполнять раз­ личные операции с операторами и матрицами, исследовать и решать системы линейных уравнений, получать всю информацию об опера­ торе (матрицу, образ, ядро, ранг и дефект, собственные векторы и собственные значения) по его матрице, преобразовывать векторы и матрицы при изменениях базисов.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете выполнить все действия с матрицами, привести матрицу к редуцированному (га­ уссову) виду, вычислить определители, обратную матрицу, решить системы уравнений, проверить линейность оператора, решить харак­ теристическое уравнение, найти собственные векторы и собственные значения оператора, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.

2.1, Правило Крамера

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Решить систему трех линейных уравне­ ний с тремя неизвестными

СЦХХ + С12Х2 -Ь СхзЖз = ^1, C2ia:i + C22X2 + С23Х3 = d2, Csia^l -Ь CS2X2 + СззХз = ^3

по правилу Крамера.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ определитель матрицы системы

СЦ С12 С13 Д = С21 С22 С23 С31 Сз2 Сзз

Установить существование и найти обратную матрицу С ^.

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем определитель матрицы detC:

Так как det С ф О, то матрица С имеет обратную.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений

110 - 11

3.Транспонируем матрицу С

31- 3 - И

4.Разделив матрицу С^ на определитель, получаем искомую об­ ратную матрицу

Ответ. Матрица, обратная матрице С, есть

2. В качестве нулевого элемента нужно взять единицу {в = 1), так как

а • 1 = а,

иными словами,

а^в =^ а.

3. В качестве элемента —а, противоположного элементу а, нужно взять 1/а, так как

а • - = 1,

а

иными словами,

аф (-а) = в.

4.Проверяем выполнение остальных аксиом линейного простран­ ства, т.е. Va, 6, с G R+ и Va, ^ G R:

а-Ь = Ь- а =^ а®Ь = Ьфа] (а-Ь) • с = а- {Ь- с) =^ {а ^ Ь) ^ с = а ф {Ь ^ с);

(а^)" := а«^ =Ф> а 0 (/? 0 а) = (а • /3) 0 а; а^ = а => 1 0 а = а;

да+/з == а« . а^ = ^ (о; 4- /?) 0 а = а 0 а 0 /3 0 а; (а • 6)" = а" • 6" = ^ а 0 (а 0 Ь) = а 0 а е а 0 Ь. Все аксиомы выполнены.

Ответ. R4- — линейное пространство.

Условия ЗАДАЧ. Образует ли линейное пространство заданное мноэюество X, в котором определены ^^сумма" любых двух элемен­ тов а иЬ и ^^произведение" любого элемента а на любое число а?

1. Множество всех векторов трехмерного пространства, первая координата которых равна 1; сумма а -Ь 6, произведение а • а.

2. Множество всех векторов трехмерного пространства; сумма [а, 6], произведение а • а.

6. Множество всех функций, дифференцируемых на отрезке [-1,1] и таких, что / ( - 1 ) = /(1) = О и f(O) = 1; сумма f{t)-{-g{t), произведение а - f{t).

7.Множество всех последовательностей а = {и^}, b = {vn}^ схо­ дящихся к нулю; сумма {un + v^}, произведение {aun}-

8.Множество всех последовательностей {wn}, b = {^n}, сходя­

щихся к 1; сумма {гх„ + г^^}, произведение {aun}-

9. Множество всех невырожденных матриц 3-го порядка а = {aik), b = {bik) {г, к = 1,2,3); сумма (a^fc) • (bifc)? произведение {aaik).

10. Множество всех диагональных матриц 3-го порядка а = (a^jt), b = (bik) {hfc= 1,2,3); сумма {aik + bik), произведение (aaik).

Ответы. 1. Нет. 2. Нет. 3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да.

8.Нет. 9. Нет. 10. Да.

2.4.Системы линейных уравнений

З а д а ч а 1. Однородные системы уравнений

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти размерность d пространства ре-

шений^ его базис {фундаментальную систему решений) и общее ре­ шение однородной системы линейных уравнений

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Записываем матрицу системы:

\ O^ml am2 • • (^тп /

И с помощью элементарных преобразований строк преобразуем мат­ рицу А так, чтобы в максимальном числе столбцов оказалось по одной единице (в разных строках у разных столбцов), а остальные элементы столбцов были нулями. Очевидно, что такие столбцы линейно неза­ висимы. Они называются базисными.

Полученную матрицу будем называть редуцированной и обозна­ чать Аред. • Отметим, что редуцированная матрица эквивалентна ис­ ходной (Аред. ^ А) и система уравнений с матрицей Аред. эквива­ лентна исходной системе уравнений.

2. Так как А ~ -Аред., то вычисляем ранг А как количество базис­ ных столбцов матрицы ^ред.*

RgA==:RgApefl. =Г.

Следовательно, размерность пространства решений есть d = п — г. Если п = г, то однородная система имеет единственное (нулевое) решение, если п > г, то фундаментальная система состоит из п — г линейно независимых решений.

3. Неизвестные, соответствуюш;ие базисным столбцам, называют­ ся базисными^ остальные — свободными (или параметрическими).

Запишем систему уравнений с матрицей Аред. и перенесем п — г свободных неизвестных в правые части уравнений системы. Прида­ вая свободным неизвестным п — г наборов значений (по одной еди­ нице, остальные — нули), для каждого такого набора решаем систему уравнений и находим соответствуюш;ие значения базисных неизвест­ ных. Убедимся, что полученные решения Xi,X2, ... ,Хп-г линейно независимы, составив матрицу из столбцов Xi, Хг, ... , Хп-г и вычи­ слив ее ранг.

Записываем фундаментальную систему решений Xi, ^ 2 , . . . , Х^.^ и обш;ее решение однородной системы линейных уравнений

/^1 \

\хп )

где Xi, ^ 2 , . . . , Хп-г — фундаментальная система решений однород­ ной системы линейных уравнений и Ci, Сг,..., Сп-г -— произвольные постоянные.

ПРИМЕР 1. Найти размерность d пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений