лекции ДМ

Расчет на прочность цилиндрических прямозубых передач по контактным напряжениям

Из расчета на контактную прочность зубьев определяются размеры зубчатой пары, при которых исключается ее преждевременный выход из строя из-за разрушения (выкрашивания) рабочих поверхностей зубьев. В основу расчета положена формула Герца-Беляева, которую преобразовывают для зубчатого зацепления.

ной околополюсной зоны, где возникает выкрашивание (рис. 6.3 и 6.4). В соответствии с формулой Герца-Беляева уравнение прочности

Выразим входящие в формулу (6.1) величины через параметры зубчатой передачи. Так как выкрашивание возникает в районе полюсной линии (рис. 6.3 и 6.4), в формулу (6.1) следует подставить значения расчетной

погонной нагрузки q и приведенного радиуса кривизны ρпр для момента

зацеплении в полюсе q = Fn kн. Так как передача прямозубая, то lΣ = bw; lΣ

Выразим ρпр через радиусы кривизны шестерни и колеса ρпр = ρ1 ρ2 .

ρ2 ±ρ1

31

Ft W Fn Fr

Параметр u = z2/z1 по ГОСТ 16532-70 называют передаточным числом и определяют как отношение большего числа зубьев к меньшему независимо от того, как передается движение: от z1 к z2 или от z2 к z1. Применение u вместо i связано только с принятой формой расчетных зависимостей для контактных напряжений [см. вывод формулы (6.3), где ρпр выражено через d1 (меньшее колесо), а не через d2 (большее колесо)]. Значение контактных напряжений, так же как и значение передаточного числа u, не зависит от того, какое колесо ведущее, а значение передаточного отношения i зависит. Однозначное определение u позволяет уменьшить вероятность ошибки при расчете. Передаточное число u относится только к одной паре зубчатых колес.

Подставив соотношения (6.2) и (6.3) в уравнение прочности (6.1),

32

(обычно выше 7) учитывают влияние на увеличение несущей способности передач по контактной прочности коэффициента торцового перекры-

это учитывается тем, что величина lΣ в формуле (6.2) приравнивается не к ширине венца bw, а определяется по эмпирической формуле

ние εα.

Подставим в формулу (6.4), получим в окончательном виде зависимость для проверочного расчета

В формуле (6.5) модуль и число зубьев непосредственно не участвуют. Они входят в эту формулу косвенно через dw1, который определяется произведением m z1. Из этого следует, что значение контактных напряжений σH не зависит от модуля или числа зубьев в отдельности, а определяется только их произведением или диаметрами колес.

диаметру соответственно. Для диаметра начальной окружности имеем dw1 = 2ua±w1 . Подставив в формулу (6.5) и возведя в квадрат, после преоб-

разования относительно межосевого расстояния aw получим формулу для проектировочного расчета

33

aw ≥ ka (u ±1)3 [T1 k]н2 ψ 1 u ,

σH ba

где ka = 3 0,5 (zм zн zε)2 .

Аналогично получается для диаметра шестерни

где kd = 3 2 (zм zн zε)2 .

Меры повышения контактной выносливости

Способность поверхности сопротивляться выкрашиванию можно повысить:

1.Увеличением твердости поверхности зубьев за счет выбора материала с соответствующей термообработкой или химико-термической обработкой.

2.За счет выравнивания нагрузки по длине зуба, т.е. снижения коэффициента неравномерности kβ (устранение кромочных давлений).

3.Повышением степени точности передачи, что обеспечивает снижение динамических нагрузок при работе.

4.Путем увеличение габаритов передачи.

5.Модификацией зацепления путем смещения исходного контура α = 20º (что при нарезании зубьев сводится к смещению инструментальной рейки). Применяют два типа передач со смещением.

При равносмещенном зацеплении, когда |x1| = |х2| или xΣ = x1 + x2 = 0, делительные окружности соприкасаются и являются начальными, как в передаче без смещения. Не изменяются также межосевое расстояние aw и угол зацепления αw , изменяется только соотношение высот головок и ножек зубьев.

При суммарном смещении xΣ > 0, а также x1 > 0 и х2 > 0, межосевое расстояние увеличивается и dwl > d1, dw2 > d2 . При этом увеличивается и угол наклона линии зацепления, т. е. увеличивается угол зацепления: αw > α = 20°. Увеличение αw при хΣ > 0 повышает контактную прочность. Можно увеличить αw до 25° и поднять допускаемую нагрузку приблизительно на 20 %.

6.Применением модифицированных исходных контуров инструментов с повышенными углами профиля (25º и 28º – для авиации). При этом можно получить повышение по нагрузочной способности до 30 %.

34

Лекция 7

Расчет цилиндрических прямозубых передач по напряжениям изгиба

Зуб рассматривается как консольная балка, для которой справедливы методы сопротивления материалов. Фактически зуб подобен выступу, у которого размеры поперечного сечения соизмеримы с размерами высоты. Точный расчет напряжений в таких элементах выполняют методами теории упругости. Результаты точного расчета используют для исправления приближенного расчета путем введения теоретического коэффициен-

та концентрации напряжений kσ . При расчете принимается, что полное нормальное усилие Fn приложено к вершине зуба, например, в момент входа в зацепление, когда плечо этой силы максимально (рис. 7.1). При этом угол α′ несколько больше угла зацепления αw. С учетом этого поло-

Рис. 7.1

Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Здесь же наблюдается концентрация напряжений. На растянутой стороне зуба обычно появляются усталостные

35

Выразим силы Ft' и Fr' через окружную составляющую Ft и коэффициент нагрузки kF

Так как размеры зуба S0 и l0 пропорциональны модулю, то их значение можно представить как S0 = mS' и l0 = ml'

Выражение в круглых скобках, умноженное на kσ принято называть коэффициент формы зуба и обозначать YF. С учетом этого условие прочности на изгиб (формула (7.2)) принимает вид

36

Так как Ft = 2 T1 , то окончательно получаем формулу проверочного рас- dw1

Коэффициента формы зуба YF зависит в основном от формы зуба. Очертание зубьев изменяется в зависимости от числа зубьев z, коэффициента смещения x, угла профиля α и от радиуса скругления r у основания зубьев, от которого, в свою очередь, зависит величина коэффициента

концентрации kσ , поэтому можем записать YF = f (z, x, α, kσ).

Для стандартных зубчатых колес коэффициент YF зависит в основном от числа зубьев z. Так как для каждого колеса значение коэффициента принимают по выбранному числу зубьев, т.е. каждому z1 и z2 соответствует свой коэффициент YF1 и YF2, то проверку по изгибным напряжени-

ям необходимо проводить для зубьев шестерни и колеса, т.е. σF1 ≤ [σF1 ] и

σF2 ≤ [σF2 ].

Рассмотрим проектировочный расчет зубьев по изгибу. В этом случае возможны варианты решения. Рассмотрим случай, когда известны ос-

новные размеры aw и bw из расчета по контактным напряжениям σн . Запишем условие прочности в форме (7.3) с учетом выполненных

преобразований

Если прочность на изгиб является основным критерием работоспособности, а числа зубьев передачи заранее заданы кинематическим расчетом, расчет ведется в форме определения модуля по заданному числу зубьев с последующей проверкой контактной выносливости. Тогда, выразив в формуле (7.3) диаметр и ширину колеса через модуль, число зубьев

37

Из анализа изложенных методов расчета зубчатых колес на прочность можно видеть, что габариты (основные размеры) передачи определяются контактной выносливостью, а модуль зацепления и, следовательно, размеры зубьев – изгибной выносливостью.

Минимально допускаемое значение модуля можно определить из условий прочности зубьев на изгиб по формуле (7.4). Значение m обычно выбирают, ориентируясь на рекомендации, выработанные практикой, и затем проверяют на изгиб. В этих рекомендациях учитывают следующее.

Мелкомодульные колеса с большим числом зубьев предпочтительны по условиям плавности хода передачи (увеличивается εα) и экономично-

сти. При малых m уменьшаются потери на трение (уменьшается скольжение), сокращается расход материала (уменьшается наружный диаметр

da = d + 2h*am ) и экономится станочное время нарезания зубьев (умень-

шается объем срезаемого материала).

Крупномодульные колеса с большим объемом зубьев дольше проти-

востоят износу, могут работать длительное время после начала выкрашивания, менее чувствительны к перегрузкам и неоднородности материала.

При мелком модуле возрастают требования к точности и жесткости передачи, так как увеличивается возможность поломки зубьев вследствие концентрации нагрузки, в особенности при перегрузках.

Значение m согласуют со стандартом (см. табл. 3.1). Для силовых передач обычно рекомендуют принимать m ≥ 1,5 мм, для цементированных передач m ≥ 2,5 мм.

При проверке можно получить σF значительно меньше [σF], что не является противоречивым или недопустимым, так как нагрузочная способность большинства передач ограничивается контактной прочностью, а не прочностью на изгиб. Если расчетное значение σF превышает допускаемое, то применяют колеса, нарезанные с положительным смещением инструмента, или увеличивают m. Это значит, что в данной передаче (при данных материалах) решающее значение имеет не контактная прочность, а прочность на изгиб. На практике такие случаи встречаются у колес с высокотвердыми зубьями при Н > 50...60 HRC (например, цементированные зубья).

38

Проверочный расчет зубчатых передач на статическую прочность при перегрузках

При малом числе циклов переменных напряжений, например, при перегрузках, возникающих при запуске или при переключениях режима работы и т. п., производится проверка передачи на статическую прочность по пиковым малоцикловым нагрузкам.

1.Проверка по контактным напряжениям. Производится из условия обеспечения σНmax ≤[σН]max , где σНmax – контактные напряжения, вызывае-

мые пиковой нагрузкой, [σН]max – допускаемые контактные напряжения для условий приложения пиковых малоцикловых нагрузок.

менно действующий крутящий момент на валу, T1ном – номинальный (длительно действующий) крутящий момент.

σН – рабочее контактное напряжение на поверхности зуба шестерни, обусловленное номинальной нагрузкой.

Допускаемое напряжение [σН]max зависит от термообработки и химикотермической обработки.

[σН]max = 2,8 σт МПа для нормализованных, улучшенных и объемнозакаленных сталей;

[σН]max = 40 HRC МПа для цементированных и поверхностно-закален- ных сталей.

2.Проверка зубчатых передач по изгибным напряжениям. Производится из условия σFmax ≤ [σF]max ,

где σF max – изгибные напряжения обусловленные пиковой нагрузкой,

[σF]max – допускаемое изгибное напряжение для условий приложения пиковых нагрузок.

σF max = σF T1max , где σF – рабочие изгибные напряжения в зубе ше-

T1ном

стерни, обусловленные номинальной нагрузкой. [σF]max зависит от термообработки:

[σF]max = 0,8 σт при HB ≤ 350, [σF]max = 0,6 σт при HB > 350,

здесь σт – предел текучести материала зубчатого колеса.

39

40