ЛЕКЦИЯ № 5. МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД

Метод медленно меняющихся амплитуд. Стационарные укороченные уравнения. Трехфотонные взаимодействия. Система стационарных укороченных уравнений. Соотношения Мэнли – Роу.

Метод медленно меняющихся амплитуд.

Теперь, рассмотрев всевозможные упрощения, мы готовы к выводу выражений для электромагнитного излучения, генерируемого нелинейной поляризацией. Ясно, что в любом случае возрастание или убывание амплитуды волны одной частоты зависит от амплитуд двух других волн. Поэтому в случае трех взаимодействующих волн мы должны найти три уравнения, связывающие амплитуды взаимодействующих волн, каждое из которых дает скорость роста или убывания поля одной частоты в зависимости от величин полей на двух других частотах. Кроме того, в каждом из этих уравнений должен быть некий член, учитывающий разность фаз между волной поляризации и электромагнитной волной.

Метод, изложенный ниже, в основан на использовании волнового уравнения (3.16), (3.17), приведенному в лекции № 3. Введем член, учитывающий нелинейную поляризацию, в уравнения Максвелла следующим образом:

Здесь линейная поляризация включена в ε , а Рнл описывает только нелинейную поляризацию.

Предположим опять, что среда является непроводящей и немагнитной и ограничимся рассмотрением одномерной задачи, т. е. положим д/ду = д/дх = 0; считаем, что все волны распространяются в направлении z. Определим три распространяющиеся взаимодействующие волны следующим образом:

E1 (z,t) = A1 (z)ei(ω1t −k1z) ,

E2 (z,t) = A2 (z)ei(ω2t −k2 z ) , (5.2)

E3 (z,t) = A3 (z)ei(ω3t −k3z ) .

где индексы 1, 2 и 3 относятся к частотам; Ai (z) – комплексная амплитуда поля на частоте ωi . Кроме того, конечно, имеются три аналогичных выраже-

ния для отрицательных частот. Это определение подразумевает, что здесь комплексная амплитуда Аi меняется из-за взаимодействия с волнами других частот только вдоль оси z, оставаясь неизменной во времени. Другими словами, мы рассматриваем (здесь) стационарный режим.

ЛЕКЦИЯ № 5. МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД

Из выражения (5.1) видим, что любое из полей уравнения (5.2) является решением уравнения (5.1) с неменяющейся вдоль z амплитудой А при нуле-

вой правой части (т. е. в линейном случае, так как k = ωc n(ω), n(ω) = ε ).

В нелинейном случае амплитуда поля зависит от z, поскольку существует нелинейная поляризация (правая часть выражения (5.1) отлична от 0). Однако при этом нелинейная поляризация должна иметь также частотуωi . Тогда что-

бы записать уравнения типа (5.1) для трех полей, участвующих в процессе на частотах ω1, ω2 , ω3 , необходимо иметь нелинейную поляризацию на этих же

частотах. Это возможно только в случае

Соотношение (5.3) носит характер закона сохранения энергии в трехфотонных взаимодействиях, характерных для сред с квадратичной нелинейностью, и допускает достаточно простую квантовую интерпретацию чисто классического варианта. Действительно, из этого соотношения следует, что при трехфотонных взаимодействиях два фотона с энергией (ω1 +ω2 ) , слива-

ясь, рождают фотон с энергией ω3 .

В рассматриваемом случае нелинейная поляризация второго порядка в соответствии с формулой (4.5) на соответствующих частотах будет иметь следующий вид:

Здесь опущены индексы уχ(2) в соответствии с перестановочными соотношениями (4.14).

Уравнения (5.1)–(5.4) являются уравнениями для амплитуд связан-

ных Аi волн. Это система связанных дифференциальных уравнений в частных производных не имеет аналитических решений и сложна для анализа. Однако, учитывая малость оптической нелинейности и стационарность, она может быть значительно упрощена.

Стационарные укороченные уравнения. Трехфотонные взаимодействия.

Подставим выражения для полей в формулу (5.1) и, рассматривая стационарный случай, когда амплитуда от времени не зависит, для поля на частоте ω1 , получим

ЛЕКЦИЯ № 5. МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД

и соотношения (5.13), найдем, что

Из этого соотношения также как и соотношения (5.13) носящего название соотношений Мэнли и Роу, впервые ими сформулированного, вытекают весьма важные следствия. Отметим, что мы получили эти соотношения, не имея в виду какое-либо конкретное взаимодействие, следовательно, оно справедливо как для процесса генерации суммарной частоты, так и для генерации разностной частоты. В случае генерации суммарной частоты (например, при сложении частот излучения двух лазеров: ω1 +ω2 =ω3 ) соотношение

Мэнли – Роу утверждает, что мощности обеих входных волн будут уменьшаться, вследствие чего будет усиливаться волна суммарной частоты. Однако для случая генерации разностной частоты ω1 =ω3 −ω2 из того же соотноше-

ния следует, что мощность входной волны на частоте ω3 переходит не только к генерируемой волне ω1 , но также и к входной волне ω2 . Другими словами,

если генерируется разностная частота двух входных частот, то усиливается не только генерируемая волна, но и волна накачки с меньшей частотой.

Так как величина АА есть мера плотности фотонов, можно также говорить, что фотон с частотой ω3 расщепляется на два фотона с частотами ω1 и ω2 или, в случае генерации суммарной частоты, что два фотона с частотами ω1 и ω2 сливаются в один фотон с частотой ω3 .

Поскольку излучение с частотой ω2 в процессе генерации разностной

частоты усиливается, открывается возможность получения разностной частоты двух сигналов: сильного (накачка) с частотой ω3 и очень слабого с часто-

той ω2 . Если слабый сигнал частоты ω2 проходит через нелинейный кристалл

несколько раз, то на каждом проходе мощность его будет все более и более возрастать. Одновременно будет нарастать и сигнал на частоте ω1 . Однако

слабый сигнал ω2 совсем не обязательно должен подаваться на кристалл из-

вне; соответствующая спектральная компонента может возникать за счет собственных шумов среды. Большое число проходов такого сигнала по кристаллу можно обеспечить, поместив его в резонатор, образованный двумя зеркалами, отражающими на частоте ω2 . Если при этом величина усиления за

один проход излучения по резонатору превышает потери за один проход, такая система самовозбуждается. Речь идет фактически о принципе действия так называемого параметрического генератора света, детально описанного в лекции 8.

Итак, отметим, что полученные уравнения для медленно меняющихся амплитуд являются основными уравнениями, позволяющими анализировать большинство нелинейно-оптических процессов.