9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.

Интуитивное представление о случайной величине

Случайная величина – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями.

Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….

Определение случайной величины

Пусть задано некоторое вероятностное пространство .

Определение.Функцияназываетсяслучайной величиной, если для любогомножествоявляетсясобытием, то есть.

Смысл приведенного определения случайной величины состоит в требовании того, чтобы у подмножества была определена его вероятность при любом.

Определение.Говорят, что функцияявляется-измеримой, если множестводля любого.

Таким образом, случайная величина есть -измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходучисло.

Определение функции распределения случайной величины

Определение.Функцией распределенияслучайной величиныназывается функция, определенная при каждомравенством:.

Из определения случайной величины следует, что ее функция распределения определена для любого.

Геометрически функция распределения означает вероятность попадания случайной точкилевее заданной точки:

Свойства функции распределения

F0).для любого.

(свойство следует из определения, так как - вероятность).

F1). Функция распределенияявляется функциейнеубывающей:.

▲ . Поэтому в силу свойства 3 вероятности■.

F2)..

▲ Нестрогое доказательство данного свойства и его смысл состоят в следующем:

в силу свойства 2 вероятности;

в силу аксиомы нормированности Р2).

Строгое доказательство свойства F2) основано на использовании аксиомы непрерывности Р4).

Рассмотрим события ,. Нетрудно заметить, что последовательность событийудовлетворяет свойствам:

1); 2). Поэтому в силу аксиомы непрерывности.

Свойствам аксиомы непрерывности удовлетворяют также события ,и поэтому. Поскольку, то■.

F3). Функция распределенияявляется функциейнепрерывной слева, то есть для любого

, где- предел слева функции распределения в точкех.

▲ Рассмотрим события ,. В силу аксиомы непрерывности. Поскольку,

то ■.

Замечание. Отметим, что если функцию распределения определить как, то она будет функцией непрерывной справа.

Замечание. СвойстваF1),F2) иF3) полностью описывают класс функций распределения в смысле следующего утверждения (без доказательства).

Если функция удовлетворяет свойствамF1),F2) иF3), тоесть функция распределения некоторой случайной величины, то есть найдется вероятностное пространствои такая случайная величина на этом пространстве, что.

F4). Для любого,

где - предел справа функции распределения в точкех, - величина скачка функции распределения в точке.

Следствие.Если функция распределения непрерывна в точке, то. Если функция распределения непрерывна для любого, тодля любого.

▲ Поскольку справедливо представление

и события в сумме являются попарно несовместными, то в силу аддитивности вероятности

.

Доказательство свойства следует из того, что последовательность событий ,удовлетворяет аксиоме непрерывности и поэтому■.

F5). Для любого.

▲ Действительно, ■.

Замечание. Геометрически свойства F3), F4) и F5) означают следующее. В точках , где функция распределения имеет разрыв 1 рода, то есть когда, за значение функции распределения принимается левое (нижнее, меньшее). При этом вероятность событияявляется ненулевой и ее значение равно величине скачка. В точках непрерывности функции распределения свойстваF3) F4) и F5) содержательными не являются.

F6). Вероятность попадания случайной величиныв интервалопределяется как приращение функции распределения на этом интервале:

для любых ->.

▲ Поскольку и события в сумме являются несовместными, то в силу аддитивности вероятности

или, что эквивалентно, ■.

F7)..

F8)..

F9)..

(Доказать свойства F7),F8) иF9) самостоятельно).

В общем случае график функции распределения может иметь вид:

В приложениях, как правило, встречаются случайные величины, функции распределения которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные случайные величины), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные случайные величины). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, вероятностные характеристики случайных величин.