52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.

Пусть - выборка объема, представляющая собой результатнезависимых наблюдений над случайной величиной, относительно распределения которой выдвинута простая гипотеза(- теоретическая функция распределения, соответствующая гипотезе). Наиболее распространенным критерием проверки этой гипотезыявляется критерииПирсона. Чтобы воспользоваться критериемПирсона, выборочные данныеследует предварительно сгруппировать, представив их в виде интервального статистического ряда.

Пусть - интервалы группировки,- частоты попадания выборочных значений в интервалысоответственно (). Обозначимтеоретическую (соответствующую) вероятность попадания случайной величиныв интервал.

Статистикой критерия является величина:, которая характеризует отклонение эмпирической функции распределенияот теоретической функции распределения(значениеявляется приращением эмпирической функциина интервале, а- приращением теоретической функциина том же интервале). Поскольку относительные частотысближаются с вероятностямипри, то в случае справедливости гипотезызначение величиныне должно существенно отличаться от нуля. Поэтому критическая область критериязадается в виде, где– значение величины, полученное для заданной выборки, а порогопределяется по заданному уровню значимоститак, чтобы. Нахождениеосновано на том факте (известном как теорема Пирсона), что случайная величинаимеет припредельное распределение хи - квадратсстепенью свободы.

53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.

На практике предельное распределение можно использовать с хорошим приближением прии. При выполнении этих условий для заданного уровня значимостиможно положить, гдеявляется (1—)-квантилью распределения. Таким образом, критерий согласияПирсона состоит в следующем:

1. По заданному уровню значимости находится по табл. П4 порог.

2. По заданной выборке объемаопределяется числоинтервалов группировки так, чтобы. Вычисляется значение статистики.

• Если , то гипотезуотвергают.

• Если , то гипотезупринимают.

Если случайная величина дискретная,- различные выборочные значения, ав случае справедливости, то всегда можно определитьинтервалов, содержащих ровно по одному выборочному значению. Поэтому в данном случае можно сразу считать, что, где– частота выборочного значения.

На практике теоретическое распределение полностью бывает определено редко. Чаще известен предположительно только тип распределения, но неизвестны параметры его определяющие. В этом случае гипотеза о виде распределения, подлежащая проверке, имеет вид и является сложной параметрической гипотезой.

Критерий согласия Пирсона применим для проверки такой гипотезысо следующими изменениями:

1. вероятности ,вычисляют, заменяя неизвестные параметрыих оценками максимального правдоподобия:;

2. число степеней свободы предельного распределения хи - квадрат должно быть уменьшено на число неизвестных параметров и считаться равным .