44.Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.

Пусть имеется выборка , представляющая собой результатнезависимых наблюдений над некоторой случайной величиной, и предположим, что тип распределения генеральной совокупности известен, но зависит от неизвестного параметра:. В общем случае задача оценивания формулируется так: используя информацию, доставляемую выборкой, сделать статистические выводы об истинном значении неизвестного параметра, т.е. оценить параметр.

Различают точечные и интервальные оценки неизвестных параметров.

Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок.

При точечном оценивании ищут статистику, (т.е. функцию, зависящую только от выборки), значение которой при заданной выборке принимают за приближенное значение параметра. В этом случае статистикуназываютоценкойпараметра.

Обосновать качество оценки можно лишь исходя из ее свойств, не зависящих от конкретной выборки. Для изучения таких свойств (естественно, вероятностного характера) в соответствии с замечанием из п. 1.1. под оценкой следует пониматьслучайную величину . Выбор из множества оценок одного и того же параметра наилучшей основан на критерии сравнения качества оценок, предложенном Р.А.Фишером. Согласно этому критерию оценкадолжна быть:

состоятельной, т. е. с возрастанием объема выборкидолжна сходиться по вероятности к истинному неизвестному значению параметра:;

несмещенной, т. е. математическое ожиданиедолжно быть равно оцениваемому параметру:;

эффективной, т. е. должна обладать минимальной дисперсией в рассматриваемом классе оценок.

Величина называетсясмещениемоценки. Таким образом, оценка является несмещенной тогда и только тогда, когда ее смещение. Оценка, у которойпри, называетсяасимптотически несмещенной.

Достаточным условием состоятельности несмещенной оценки в силу неравенства Чебышева является стремление к нулю ее дисперсии: при.

Эффективность оценки позволяет исследовать следующее неравенство Рао-Крамера: для широкого класса непрерывных распределений и для любой несмещенной оценки, имеющей конечную дисперсию, справедливо неравенство:

,

где - плотность вероятностей наблюдаемой случайной величины,- информация Фишера о параметре, содержащаяся в одном наблюдении над случайной величиной. Таким образом, оценкаявляется эффективной, если она обращает неравенство Рао-Крамера в равенство, т.е..

Наиболее распространенными методами получения точечных оценок неизвестных параметров распределений, удовлетворяющих требованиям 1 - 3 (хотя бы частично), являются метод моментов и метод максимального правдоподобия.

45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.

Выборочное среднее и выборочная дисперсия являются оценками матеметического ожидания и дисперсии, найденными по методу моментов, то есть они являются:

- состоятельными (при весьма общих предположениях);

- несмещенными не всегда;

- вообще говоря, неэффективными(за исключением случая нормального распределения).

46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример. Метод моментов.

Пусть - выборка из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения, зависящую от векторного параметра. Предположим, что у наблюдаемой случайной величинысуществуют первыемоментовкоторые являются функциями от:. Метод моментов состоит в нахождении решениясистемы уравнений, получаемой приравниванием теоретических моментов соответствующим выборочным моментам:.

Для нахождения оценки может быть использована также система уравнений, основанных на приравнивании центральных теоретических и выборочных моментов:

.

Использование именно первых rмоментов является необязательным.

В случае двумерного неизвестного параметра его оценка по методу моментовобычно определяется как решение системы уравнений:

Оценки, получаемые по методу моментов являются:

- состоятельными (при весьма общих предположениях);

- несмещенными не всегда;

- вообще говоря, неэффективными.

На практике оценки, получаемые по методу моментов, часто используются как первое приближение, на основе которого находятся более «хорошие» оценки.

Достоинство метода моментов заключается в том, что системы уравнений для нахождения оценок решаются довольно просто. Однако имеет место произвол в выборе уравнений для нахождения оценок и метод вообще неприменим, когда моментов необходимого порядка не существует (пример - закон распределения Коши).