41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

Эмпирической функцией распределения, соответствующей выборке, называется функция,

где - индикатор множества, а- число выборочных значений, не превосходящих. Для заданной выборкиэмпирическая функция распределенияобладает всеми свойствами обычной функции распределения: принимает значения между 0 и 1, является неубывающей и непрерывной слева. Графикимеет ступенчатый вид, причем:

• если все значения различны, топри, ,;

• если - различные значения среди, то.

Принципиальное отличие эмпирической функции распределения от обычной функции распределения состоит в том, что она может изменяться от выборки к выборке и притом случайным образом. Важнейшим свойством эмпирической функции распределениякак случайной функции (см. замечание выше) является то, что она для любогопри увеличении объема выборкисближается (в смысле сходимости по вероятности) с истинной функцией распределения. Поэтому говорят, что эмпирическая функция распределенияявляется статистическим аналогом (оценкой) неизвестной функции распределения, которую называют при этом теоретической.

Если - выборка объемаиз генеральной совокупности, имеющей непрерывное распределение с неизвестной плотностью вероятностей, то для получения статистического аналогаследует предварительно произвести группировку данных. Она состоит в следующем:

1. По данной выборке строят вариационный ряд.

2. Промежуток разбивают точкаминанепересекающихся интервалов(на практике).

3. Подсчитывают частоты попадания выборочных значений в-ый интервал.

4. Полученную информацию заносят в следующую таблицу, которую называют интервальным статистическим рядом:

Интервалы			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

Очевидно, что . Поэтому совокупность пар, где- середина интервала,называютэмпирическим законом распределения, полученным по сгруппированным данным.

42. Гистограмма и полигон частот.

Далее в прямоугольной системе координат на каждом интервале как на основании длинойстроят прямоугольник с высотой. Получаемую при этом ступенчатую фигуру называютгистограммой. Поскольку при большихв соответствии с теоремой Бернулли, где- истинная вероятность попадания случайной величиныв интервал, а, то справедливо приближенное равенство. Поэтому верхняя граница гистограммы является статистическим аналогом (оценкой) неизвестной плотности вероятностей.

На практике при группировке данных обычно берут интервалы одинаковой длины соnst, а число интервалов группировки определяют с помощью, так называемого, правила Стургерса, согласно которому полагается.

Ломаная с вершинами в точках называетсяполигоном частоти для гладких плотностей является более точной оценкой, чем гистограмма. Пример гистограммы и полигона частот приведен на рис.1.

Рис. 1. Гистограмма и полигон частот

43.Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.

Пусть - выборка из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения . Аналогично тому, как теоретической функции распределенияставят в соответствие эмпирическую функцию распределения, любой теоретической характеристикеможно поставить в соответствие ее статистический аналог -выборочную (эмпирическую) числовую характеристику g*,определяемую как среднее арифметическое значений функцииg(х) для элементов выборки:

.

В частности, выборочный начальный момент -го порядка есть величина.

При k = 1 величину называютвыборочным средним и обозначают :.

Выборочный центральный момент -го порядка есть величина.

При величинуназывают выборочной дисперсией и обозначают :.

Между выборочными начальными и выборочными центральными моментами сохраняются те же соотношения, что и между теоретическими. Например, справедливо равенство

,

являющееся аналогом известного равенства .

Являясь для заданной выборки числами, в общем случае выборочные числовые характеристики являются случайными величинами и обозначаются соответствующими заглавными буквами:

; ;;

; .

В связи с этим можно ставить вопрос о нахождении закона распределения выборочных числовых характеристик и их числовых характеристиках. Располагая только сгруппированными данными, можно определить аналог эмпирической функции распределения следующим образом:

.

Для вычисления выборочных моментов -го порядка по сгруппированным данным используются формулы:

.

В частности, выборочное среднее и выборочная дисперсия по сгруппированным данным определяются с помощью формул:.