Характеристические функции случайных векторов

Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная функциявещественных переменных, определяемая для любогоравенством:

или в векторной форме ,

где означает скалярное произведение векторов.

Характеристическая функция случайного вектора обладает всеми свойствами (с очевидными изменениями в формулировках) одномерной характеристической функции. Но есть и дополнительные полезные свойства.

По характеристической функции случайного вектораможно найти характеристическую функцию любой группы изего координат. Для этого следует положить аргументыпри.

Так, например, характеристическая функция «отрезка» случайного вектораравна,

а характеристическая функция любой координаты вектораравна

.

Если - характеристическая функция случайного вектора, то характеристическая функция суммы его координатравна,

то есть следует положить все .

Задача 1. Найти характеристическую функцию двумерного нормального случайного вектора .

Ответ: .

Задача 2. Найти характеристическую функцию суммы двумерного нормального случайного вектора и по ней определить закон распределения случайной величины.

Ответ: .

Задача 3. Найти характеристическую функцию многомерного нормального случайного вектора .

Ответ: .

36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.

Ранее были введены три вида сходимости последовательностей случайных величин: по вероятности, почти наверное и в среднем. Еще один вид сходимости основан на близости законов распределения случайных величин, то есть на сходимости последовательности их функций распределения.

Пусть заданы последовательность случайных величин , имеющих функции распределения, и случайная величинас функцией распределения. Было бы естественно считать, что, если случайная величина, то ее закон распределения сходится прик закону распределения случайной величины. Однако, требовать при этом равномерную сходимостьк(то есть, чтобы) в общем случае неразумно, поскольку она никогда не будет иметь места, если функция распределения случайной величиныимеет хотя бы один разрыв. Поэтому сходимость последовательности функций распределенияк функции распределенияпонимают в смысле следующего определения.

Определение. Говорят, что последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения и обозначают, если

в каждой точке , где предельная функция распределенияявляется непрерывной.

При этом также говорят, что последовательность случайных величин слабо (или по распределению) сходится к случайной величине и записывают(или) или, что последовательность случайных величинслабо сходится к распределению и обозначают.

Смысл слабой сходимости: это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Выделим важный частный случай, когда предельная функция распределения является непрерывной для любого. При этом, еслидля любогои, более того, в силу монотонности и ограниченности функций распределения сходимость являетсяравномерной по :(подробнее см. учебник Чистякова В.П. «Курс теории вероятностей»).

Замечание. Отметим, что запись не совсем корректна: если предельную случайную величинузаменить на любую другую случайную величинус тем же законом распределения, то ничего не изменится, в том же смысле и. Поэтому слабая сходимость все же не есть сходимость последовательности случайных величин и ей нельзя пользоваться как сходимостями по вероятности, почти наверное и в среднем, для которых предельная случайная величина единственна (хотя бы с точностью до значений на множестве нулевой вероятности). По этой причине слабая сходимость и рассматривается отдельно.

Следующее утверждение устанавливает соотношение между слабой сходимостью и сходимостью по вероятности.

Лемма.

1. Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость: если , то.

2. Если предельное распределение является вырожденным, то сходимость по вероятности и слабая сходимость эквивалентны: если , то.

▲ 1. Пусть - точка непрерывности функции распределения. Требуется доказать, что тогда. Зафиксируемтакое, чтонепрерывна в точках.

Функцию распределения можно записать в виде:

.

Оценим вероятность сверху и снизу. Для вероятностиимеем:

и вероятность справа может быть выбором сделана сколь угодно малой, поскольку.

Для вероятности , с одной стороны,

(так как, если , то тем более).

С другой стороны,

(здесь первое неравенство очевидно, а второе следует из того, что ).

Таким образом, получаем для следующее двойное неравенство:

.

Устремляя теперь , получаем,

а предельный переход при с учетом того, что- точка непрерывности, дает.

2. Пусть для любого, являющегося точкой непрерывности предельной функции распределения, то есть при всех.

Докажем, что при этом для любого.

Раскроем модуль под знаком вероятности и выполним ряд преобразований:

,

поскольку в точках ифункция распределениянепрерывна. Окончательно, сходимостьследует из леммы о двух милиционерах ■.

Замечательный факт состоит в том, что слабая сходимость распределений полностью характеризуется с помощью характеристических функций.

Теорема непрерывности (без доказательства).

Пусть - последовательность характеристических функций, а- последовательность соответствующих функций распределений. Для слабой сходимостинеобходимо и достаточно, чтобыдля любого, где- характеристическая функция, соответствующая предельной функции распределения.

Теорема непрерывности устанавливает, что соответствие между функциями распределения и характеристическими функциями является не только взаимнооднозначным (в соответствии с теоремой единственности), но и непрерывным в том смысле, что пределу в классе функций распределения относительно слабой сходимости соответствует предел в классе характеристических функций относительно поточечной сходимости.

Теорема непрерывности является основным средством доказательства центральных предельных теорем (теорем о слабой сходимости распределений на числовой прямой).