33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.

Теорема 3 (Закон больших чисел для независимых, одинаково распределенных случайных величин).

Если случайные величины в последовательности являются независимыми, одинаково распределенными и имеют конечные математические ожидания и дисперсии , то эта последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел, то есть.

▲ Обозначим по-прежнему . Тогда.

В соответствии с неравенством Чебышева (4.15) имеем: .

Переходя в последнем соотношении к пределу при , получаем, что для любого, то есть■.

Замечание 1. Теорема 3 является очевидным следствием теоремы Чебышева и ее можно было бы не доказывать. Доказательство приведено здесь только для того, чтобы утверждению теоремы придать самостоятельность.

Вернемся теперь к задаче об измерениях в условиях помех.

Проведение независимых наблюдений над случайной величиной, где, эквивалентно проведению одного наблюдения наднезависимыми, распределенными также какслучайными величинами. При этомдля любого. В силу Теоремы 3 такая последовательность случайных величинподчиняется закону больших чисел, то есть.

Таким образом, среднее арифметическое результатов измерений при больших мало отличается от измеряемой величиныс вероятностью, близкой к 1. Это и есть точный смысл приближенного равенства (4.18).

Точность приближенного равенства (4.18) характеризуется величиной дисперсии среднего арифметического измерений ,

которая оказывается в раз выше, чем точность одного измерения, равная. Этот факт и объясняет требование к проведению на практике как можно большего числа измерений в условиях, обеспечивающих их независимость друг от друга.

Теорема 4 (Бернулли).

Относительная частота появления событиявнезависимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, сходится по вероятности прик вероятностинаступления событияв одном испытании, то есть для любого:

или, кратко при.

▲ Обозначим - число появлений событияА в -ом испытании. Случайная величинапринимает два значения 1 и 0 с вероятностями:.

Все случайные величины , являются независимыми и одинаково распределенными, причем для любого:.

В силу Теоремы 3 такая последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел, то есть.

Осталось заметить, что , и поэтому■.

Замечание. Пусть . Поскольку случайная величина- число успехов внезависимых испытаниях по схеме Бернулли, то ее можно представить в виде:, (4.20)

где - случайные величины из доказательства теоремы Бернулли (их называют еще бернуллиевскими). Из представления (4.20), свойств математического ожидания и дисперсии и того, что, имеем:.

Это есть более простой способ нахождения числовых характеристик биномиальной случайной величины, чем просто по определению (как это делалось ранее).

Теорема Бернулли является обоснованием статистического определения вероятности, в соответствии с которым за неизвестную вероятность событияпринимается его известная относительная частотапоявления внезависимых испытаниях. Теорема Бернулли утверждает, что действительно вероятность неравенствадля сколь угодно малогоможет быть при достаточно большом числе испытанийсделана как угодно близкой к 1.

Физическая суть законов больших чисел состоит в том, что различные по алгебраическим знакам случайные отклонения независимых (или слабо зависимых) случайных величин ,от их общего среднего значения при большомв массе своей взаимно погашаются. Поэтому, хотя сами величины,и случайны, но их среднеепри достаточно большомпрактически уже неслучайно.

Из законов больших чисел также следует, что путем усреднения наблюдаемых значений любой случайной величины можно достаточно точно определить ее математическое ожидание (если оно неизвестно). Такого типа задачи решаются в математической статистике.

Замечание. Заметим, что во всех приведенных теоремах 1 – 4 справедлива на самом деле и более сильная сходимость в среднем квадратическом.

Действительно,

Пример. Пусть - последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной, а коэффициент корреляции любых случайных величини, не являющихся соседними в последовательности, равен нулю. Подчиняется ли эта последовательность случайных величин закону больших чисел?

Решение. Проверим выполнение условия в теореме Маркова:

Из свойств дисперсии следует, что где- корреляционный момент случайных величини. Но для, по условию,, если. Следовательно, в суммеравны нулю все слагаемые кроме, может быть,(их ровно).

Для любых и, так как, по условиюдля любого. Поэтому

и получаем, что .

Таким образом, последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел.