32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.

Типичным примером применения на практике законов больших чисел является следующая задача об измерениях в условиях помех.

Предположим, что производится измерение некоторой физической величины . При этом в действительности результат измерения есть значение случайной величины, где- погрешность измерения, которую естественно считать случайной величиной с. Для повышения точности измерения величинына практикевсегда поступают следующим образом. Измерения производят как можно в большем количестве и в одинаковых условиях, стараясь обеспечить независимость измерений друг от друга. Получают при этом результаты (значения случайной величины). В качестве приближенного значения величиныпринимают среднее арифметическое результатов измерений:. (4.18)

Законы больших чисел позволяют:

- указать точный смысл приближенного равенства (4.18);

- ответить на вопрос о точности приближенного равенства (4.18);

- указать условия, при которых утверждения типа приближенного равенства (4.18) справедливы.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин имеющих конечные математические ожиданияподчиняется закону больших чисел, если для любого

(4.19),

или, более кратко, .

Важно выделить частный случай, когда все случайные величины в последовательности имеют одинаковые математические ожидания. Тогда утверждение закона больших чисел (4.19) принимает вид:,, то есть

(в частности, утверждение закона больших чисел, имеет вид для одинаково распределенных случайных величин).

Рассмотрим несколько вариантов законов больших чисел, причем начнем с наиболее общего из них.

Теорема 1 (Маркова) (Закон больших чисел для зависимых, разнораспределенных случайных величин).

Пусть - последовательность случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии , для которых выполняется условие:

. (условие Маркова)

Тогда эта последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел, то есть выполняется соотношение (4.19).

▲ Обозначим . Тогда по свойствам математического ожидания и дисперсии имеем:

.

В силу неравенства Чебышева (4.15) .

Но по условию Маркова . Поэтому, переходя в последнем соотношении к пределу при, получаем, что для любого, то есть(лемма о двух милиционерах) ■.

Теорема 2 (Чебышева) (Закон больших чисел для некоррелированных, разнораспределенных случайных величин).

Пусть - последовательность попарно некоррелированных (в частности, попарно независимых) случайных величин, дисперсии которых равномерно ограничены, то есть.

Тогда эта последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел, то есть выполняется соотношение (4.19).

▲ Снова обозначим . Тогда, а в силу аддитивности дисперсии для попарно некоррелированных случайных величин имеем:

.

В соответствии с неравенством Чебышева (4.15) .

Переходя далее к пределу при , получаем, что для любого, то есть■.

Замечание 1. Теорема Чебышева является фактически следствием теоремы Маркова, поскольку из равномерной ограниченности дисперсий случайных величин следует выполнение условия Маркова (что и было продемонстрировано при доказательстве теоремы).

Замечание 2. Утверждение теоремы Чебышева остается справедливым и при более слабом, чем равномерная ограниченность дисперсий, условии:.