31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.

Есть две группы предельных теорем, объединяемых названиями: законы больших чисел и центральная предельная теорема. Законы больших чисел устанавливают факт приближения среднего арифметического случайных величин к некоторой неслучайной величине (константе). Центральная предельная теорема устанавливает факт приближения закона распределения суммы случайных величин к нормальному закону распределения.

Прежде, чем переходить к рассмотрению предельных теорем, приведем ряд понятий и фактов, необходимых для их формулировки и доказательства.

Неравенство Чебышева

Получим вначале некоторые оценки для распределений случайных величин.

Лемма. Если неотрицательная случайная величина имеет конечное математическое ожидание, то для любогосправедливо неравенство:.

▲ Докажем лемму для непрерывной случайной величины (для дискретной случайной величины доказать самостоятельно). По определению математического ожидания непрерывной случайной величины

,

откуда и следует утверждение леммы ■.

Следствие (неравенство Чебышева). Если случайная величина имеет конечную дисперсию, то для любогосправедливы следующие неравенства:; (4.15)

.

▲ В соответствии с предыдущей леммой

,

что доказывает неравенство (4.15). Неравенство следует из (4.15) путем перехода к противоположному событию ■.

Неравенство Чебышева имеет большое теоретическое и практическое значение. Оно дает простую оценку для вероятности отклонения случайной величины с произвольным законом распределения от ее математического ожидания. Причем, если о случайной величине, кроме ее математического ожидания и дисперсии ничего неизвестно, то эту оценку улучшить нельзя (существует пример случайной величины, для которой в (4.15) достигается равенство). Если же есть дополнительная информация о случайной величине (например, известен ее закон распределения), то оценки (4.15) и могут быть существенно улучшены.

Пример. Пусть случайная величина имеет нормальный закон распределения:. Тогда:

- на основании неравенства Чебышева ;

- в соответствии с «правилом »,

где - функция Лапласа.

Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними

Как и в математическом анализе, в теории вероятностей имеют дело с различными видами сходимости последовательностей случайных величин. Основными среди них являются: сходимость по вероятности, сходимость почти наверное и сходимость в среднем порядка (в среднем квадратическом).

Пусть на вероятностном пространстве заданы последовательность случайных величини величина(случайная или нет).

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к величине , если для любого

или, что эквивалентно,

Краткое обозначение сходимости по вероятности: или. В математическом анализе этот вид сходимости называется сходимостьюпо мере.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится почти наверное к величине (почти всюду, с вероятностью 1), если

или, что эквивалентно, .

Краткое обозначение сходимости почти наверное: .

Другими словами, еслидля всех, за исключением, быть может,из множества, имеющего нулевую вероятность:.

Смысл этой сходимости в математическом анализе - почти поточечная сходимость последовательности функций.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится к величинев среднем порядка (), если.

Краткое обозначение сходимости в среднем порядка :(в данном определении предполагается, что все случайные величины обладают конечными моментами до порядкавключительно).

В математическом анализе этот вид сходимости называется сходимостью в смысле (в гильбертовом пространстве порядка ).

Сходимость в среднем порядка называют сходимостью в среднем квадратическом и используют запись:или(limit in the mean). В дальнейшем мы будем иметь дело в основном с этим видом сходимости в среднем.

Смысл введенных видов сходимостей последовательностей случайных величин: понятие предела определено только для числовой последовательности, поэтому случайность под знаком предела должна быть ликвидирована. Это делается в приведенных определениях либо с помощью вероятности, либо с помощью математического ожидания со своим понятием близости между и.

Лемма (связь между видами сходимостей).

а) Если последовательность случайных величин сходится к величинепочти наверное, то она сходится к этой величине и по вероятности:.

б) Если последовательность случайных величин сходится к величинев среднем порядка(), то она сходится к этой величине и по вероятности:.

▲ а) Если , то по определению сходимости почти наверное на множестве(), начиная с некоторого, при любоми для любогосправедливо неравенство:. Другими словами,

или, переходя к противоположному событию: . (4.16)

Покажем, что равенство (4.16) эквивалентно тому, что . (4.17)

Действительно, поскольку при любом :,

то, переходя в обеих частях данного неравенства к пределу при , получаем, что из (4.17) следует (4.16), так как вероятность не может быть отрицательной (лемма о двух милиционерах).

Для доказательства того, что из (4.16) следует (4.17), рассмотрим события . Посколькуив соответствии с (4.16), тов силу аксиомы непрерывности вероятности Р4).

Для окончательного доказательства утверждения а) леммы достаточно заметить, что для любого в соответствии с (4.17).

Поэтому (в соответствии с леммой о двух милиционерах).

б) Зафиксируем . Тогда в силу неравенства Чебышева для любого

.

Поэтому, если , тои, следовательно, для любого(снова в соответствии с леммой о двух милиционерах) ■.

Замечание. Из леммы следует, что сходимость по вероятности является слабейшей из всех введенных трех видов сходимостей последовательностей случайных величин. Обратные импликации в утверждениях а) и б) леммы, вообще говоря, неверны (соответствующие примеры можно найти в учебнике А.А. Боровкова «Теория вероятностей»).