Функции от случайных векторов

Пусть – двумерный случайный вектор с заданным законом распределения и случайная величина, где– неслучайная скалярная функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений вектора. Рассмотрим задачу нахождения закона распределения случайной величины.

Предположим вначале, что – дискретный случайный вектор, принимающий конечное число значенийс вероятностями,(случай счетного числа значений случайного вектора рассмотреть самостоятельно). Тогда– дискретная случайная величина и ее возможными значениями,являются различные среди значений(может быть). При этом вероятности значенийаналогично одномерному случаю определяются по формуле:

, . (4.8)

Если – непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей, а функциядифференцируема по каждому из своих аргументов, тоявляется непрерывной случайной величиной. При этом функция распределенияслучайной величиныопределяется формулой:

, (4.9)

а плотность вероятностей находится дифференцированиемпо.

30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.

Часто на практике возникает задача определения закона распределения случайной величины , являющейся суммой координат случайного вектора. Если при этом одну из случайных величин интерпретировать как полезный сигнал, а вторую случайную величину как шум, то в приложениях эта задача известна как исследование модели «сигнал + шум».

Применяя формулы (4.8) и (4.9) для функции получаем следующие результаты.

Если - дискретный случайный вектор, принимающий конечное число значенийс вероятностями,, то– дискретная случайная величина и ее возможными значениями,, являются различные среди значений. Вероятности значенийопределяются по формуле:

, (4.10)

(при этом предполагается, что вероятность , еслини при какомj, и аналогично вероятность , еслини при какомi).

Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей, то случайная величинаявляется непрерывной и функция распределенияслучайной величиныимеет вид:

а, после расстановки пределов интегрирования по области ,

.

Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:

(4.11)

(в точках непрерывности плотностей вероятностей ,и).

Если дополнительно известно, что координаты случайного вектора являютсянезависимыми случайными величинами, то:

• случайная величина является дискретной, еслии- дискретные случайные величины, и имеет закон распределения, определяемый в соответствии с (4.10) вероятностями:

, . (4.12)

• случайная величина является непрерывной, еслии- непрерывные случайные величины, и имеет в соответствии с (4.11) плотность вероятностей:

, (4.13)

где и- плотности вероятностей случайных величинисоответственно;

• случайная величина является непрерывной, если- дискретная случайная величина, а- непрерывная случайная величина, и имеет плотность вероятностей:

, (4.14)

где и,- значения случайной величиныи соответствующие им вероятности, а- плотность вероятностей случайной величины.

Получается данный результат комбинированием дискретного и непрерывного случаев. Вначале находится функция распределения непрерывной случайной величины с учетом независимости случайных величини:

,

а затем дифференцированием пополучаем для плотности вероятностейвыражение (4.14).

Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин по закону распределения слагаемых в теории вероятностей называется задачей композиции законов распределения, а в функциональном анализе – сверткой функций. По этой причине формулу (4.13) кратко можно записать в виде (гдеозначает операцию свертки), а интегралы в ней называют интегралами свертки.

Замечание. Все результаты, полученные для двумерного случайного вектора, без труда обобщаются и на многомерный случай.

Пример. Пусть , и случайные величиныинезависимы. Найти плотность вероятностей случайной величины.

Решение. Для простоты положим (общий случай рассмотреть самостоятельно). Тогда, в соответствии с интегралом свертки (4.13), имеем:

(при этом был использован тот факт, что - интеграл Пуассона)

Таким образом, случайная величина .

В общем случае, когда , случайная величина.

По индукции можно доказать, что если случайные величины независимы (в совокупности) и, то их любая линейная комбинация также имеет нормальный закон распределения:

.